Differenze tra le versioni di "Insieme delle parti"

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In [[matematica]], dato un [[insieme]] ''S'', l''''insieme delle parti''' di ''S'', scritto <math>\mathcal{P}(S)</math> , è l'insieme di tutti i [[sottoinsieme|sottoinsiemi]] di ''S''. Questa collezione di insiemi viene anche detta '''insieme potenza''' di ''S'' o '''booleano''' di ''S''.
 
<!-- Qualsiasi [[sottoinsieme]] ''F'' di <math>\mathcal{P}(S)</math> viene chiamato [[famiglia di insiemi]] rispetto a ''S''. -->
 
=== Insiemi finiti ===
Se ''S'' è un insieme finito con <math>|S|=n</math> elementi, allora l'insieme delle parti di ''S'' contiene <math>|\mathcal{P}(S)| = 2^n</math> sottoinsiemi.
 
==== Dimostrazione ====
 
==Bigezione con l'insieme 2<sup>''S''</sup>==
Nella [[teoria degli insiemi]], <math>X^Y</math> è l'insieme di tutte le [[funzione (matematica)|funzioni]] da <math>Y</math> a <math>X</math>. Il numero naturale 2 può essere definito insiemisticamente: <math>2= \left\{{0,1} \right\}</math> (vedi [[numeri naturali]]), quindi <math>2^S</math> è l'insieme di tutte le funzioni da ''S'' a {0,1}.
 
Identificando una funzione in <math>2^S</math> con la [[Immagine (matematica)|preimmagine]] corrispondente di 1, si osserva che c'è una [[biiezione]] tra <math>2^S</math> e <math>\mathcal{P}(S)</math>:
 
<math>\begin{matrix} \ f:\mathcal{P}(S) \longrightarrow 2^S \\ A \longmapsto \chi_A \end{matrix}</math>
 
dove ogni funzione <math>\chi_A</math> viene detta la [[funzione indicatrice|funzione caratteristica]] del sottoinsieme <math>A</math> in <math>\mathcal{P}(S)</math> ed è definita in questo modo:
 
<math>\begin{matrix} \ f:S \longrightarrow 2=\{0, 1\} \\
\end{matrix}\right.\ \end{matrix}</math>
 
Quindi <math>|\mathcal{P}(S)|=|2^S|</math>.
 
== Assioma dell'insieme potenza ==
Utente anonimo