Ipersfera: differenze tra le versioni
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:<math> S_n = \left\{ x \in \R^n : \left\| x - P \right\| = r \right\} </math>
e rappresenta quindi un'ipersuperficie, ossia una [[Varietà (geometria)|varietà]] <math>(n-1)</math>-dimensionale immersa nello spazio <math>n</math>-dimensionale. Per tale motivo, su alcuni testi, in particolare in [[topologia]], viene indicata con <math> S_{n-1} </math> invece che <math> S_n </math>. In questo articolo, sarà indicata con <math>S_n</math>, per rendere più chiare alcune relazioni matematiche. Tuttavia, accenneremo alla notazione utilizzata in topologia nell'ultimo paragrafo.
Nello spazio euclideo, l'ipersfera <math>S_n</math> è la [[Frontiera (topologia)|frontiera]] della [[Palla (matematica)|palla]] <math>n</math>-dimensionale chiusa, che è l'insieme di tutti i punti che hanno distanza minore o uguale a <math>r</math> da un dato punto <math>P</math>
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* nello spazio euclideo <math>1</math>-dimensionale, ossia la [[retta]], <math>S_1</math> è una coppia di punti che delimita <math>V_1</math> che è un [[segmento]];
* nello spazio euclideo <math>2</math>-dimensionale, ossia il [[Piano (geometria)|piano]], <math>S_2</math> è una [[circonferenza]] che delimita <math>V_2</math> che è un [[cerchio]];
* nello spazio euclideo <math>3</math>-dimensionale, <math>S_3</math> è una superficie sferica ordinaria che delimita <math>V_3</math> che è l'interno della [[sfera]].
== Rappresentazione di un'ipersfera ==
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Un altro fenomeno particolare accade già a partire da <math>n=4</math> dimensioni: in tal caso, ogni ipersfera circoscritta ha raggio uguale o maggiore di <math> l \sqrt{4} = 2 l </math>, pertanto include anche i centri degli ipercubi aiacenti. Si comprende allora che, dato un qualunque ipercubo della scacchiera <math>n</math>-dimensionale, esso risulta completamente occupato da tutte le ipersfere circoscritte agli ipercubi adiacenti; invece, in una scacchiera <math>2</math>-dimensionale o <math>3</math>-dimensionale, un qualunque quadrato o cubo non viene completamente occupato da tutti i cerchi circoscritti o da tutte le sfere circoscritte ai quadrati o ai cubi adiacenti.
== Notazione utilizzata in topologia ==
Come accennato in precedenza, in [[topologia]], l'ipersfera rappresentata dal luogo di tutti i punti, nello [[spazio euclideo]] <math>n</math>-dimensionale, che hanno distanza <math>r</math> da un dato punto fissato <math>P</math>, essendo una [[Varietà (geometria)|varietà]] <math>(n-1)</math>-dimensionale, è indicata con <math> S_{n-1} </math> invece che <math> S_n </math>, cioè si pone
:<math> S_{n-1} = \left\{ x \in \R^n : \left\| x - P \right\| = r \right\} </math>
In alternativa, si può porre
:<math> S_n = \left\{ x \in \R^{n+1} : \left\| x - P \right\| = r \right\} </math>
ossia si può considerare l'ipersfera rappresentata dal luogo di tutti i punti, nello spazio euclideo <math>(n+1)</math>-dimensionale, che hanno distanza <math>r</math> da un dato punto fissato <math>P</math>, la quale è una varietà <math>n</math>-dimensionale.
In topologia, la varietà <math>n</math>-dimensionale <math> S_n </math> così definita prende anche il nome di ''<math>n</math>-sfera''.
Con tale convenzione, si ha, per esempio, che:
* l'<math>1</math>-sfera <math>S_1</math> è una [[circonferenza]]
* la <math>2</math>-sfera <math>S_2</math> è una superficie sferica ordinaria
Con la notazione utilizzata in topologia, la formula che esprime la misura ipersficiale si ottiene da quella vista in precedenza sostituendo <math>n</math> con <math>(n+1)</math>, cioè
:<math>S_n(r) = \frac{ {2\pi^{\frac{n+1}{2}}}} {\Gamma(\frac{n+1}{2})} r^n.</math>
== Bibliografia ==
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