Differenze tra le versioni di "Equazione funzionale di Cauchy"

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formula
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m (formula)
Se ci limitia a <math>x, y > 0</math>, allora, ponendo <math>x = e^u</math>, <math>y = e^v</math>, <math>f(e^u) = g(u)</math> si ottiene: <math>f(e^{u+v}) = f(e^u)f(e^v)</math>, ossia <math>g(u+v) = g(u)g(v)</math> che, per quanto visto precedentemente, ha l'unica soluzione continua <math>g(u) = e^{cu}</math> e quindi <math>f(x) = f(e^u) = g(u) = (e^u)^c = x^c</math>, oltre alla soluzione banale in cui <math>f(x) = 0</math> per ogni <math>x</math>.
 
Se si vuole risolvere l'equazione per ogni <math>x \neq 0</math>, <math>y \neq 0</math>, allora con le due sostituzioni <math>x = y = t</math> e <math>x = y = -t </math> (con <math>t > 0</math>) si ricava <math>f(t^2) = f^2(t)</math> e <math>f(t^2) = f^2(-t)</math>, da cui <math>f^2(t) = f^2(-t)</math> per ogni <math>t</math>. Allora, per ogni scelta di <math>t</math>, deve valere <math>f(-t) = f(t) = t^c</math> oppure <math>f(-t) = -f(t) = -t^c</math> (oltre, anche qui, al caso banale in cui <math>f(x) = 0</math> per ogni <math>x</math>). Supponendo la continuità, le soluzioni sono:
 
:<math>f(x) = {|x|}^c</math>
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