Differenze tra le versioni di "Teorema fondamentale del calcolo integrale"

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Se <math>f</math> è integrabile si ha:<ref>{{Cita|W. Rudin|Pag. 131|rudin}}</ref>
 
:<math>\int_a^b f(x) \; \mathrm dx=G(b)- G(a)</math>
 
Tale relazione è detta ''formula fondamentale del calcolo integrale''.
Si ponga ancora, come nella prima parte del teorema:
 
:<math>F(x) = \int_a^x f(t) \,; \mathrm dt</math>
 
in modo che sia:
 
:<math>F(b) = \int_a^b f(x) \,; \mathrm dx \qquad F(a) = \int_a^a f(x) \,; \mathrm dx = 0 \qquad F(b)- F(a)= \int_a^b f(x) \,; \mathrm dx</math>
 
dal teorema precedente si ottiene che:
Essendo <math>G'(x) = f(x)</math>, si può scrivere:
 
:<math>F(x) = \int_a^x G^\prime(t) \,; \mathrm dt</math>
 
e quindi anche:
Per la linearità dell'operazione di [[derivata]] si ottiene:
 
:<math>\frac {\mathrm d} {\mathrm dx} (F(x)-G(x)) = 0 </math>
 
per ogni <math>x \in [a,b]</math>.
da cui si ottiene facilmente, sostituendo alla funzione integrale <math> F(x) </math> la primitiva generica <math> G(x)+ c</math>:
 
:<math>\int_a^b f(x) \; \mathrm dx = F(b)-F(a)= G(b)- G(a) </math>
}}
 
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