Differenze tra le versioni di "Teorema fondamentale del calcolo integrale"

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cioè si riduce alla differenza di <math>A_k</math> sugli "estremi" dell'insieme su cui varia ''k''. Questo tipo di somme che si possono "accorciare" vengono chiamate [[serie telescopica|somme telescopiche]]. L'analogia con la formula fondamentale del calcolo:
 
:<math>\int_a^b F^\prime(t) \; \mathrm dt = F(b)-F(a)</math>
 
non è casuale. Si supponga di approssimare l'integrale della derivata <math>F^\prime</math> mediante una somma finita di aree di rettangolini di base lunga <math>h=1 / n </math> e altezza <math>F ^\prime (x_k)</math> immaginando di aver diviso l'intervallo <math>[a,b]</math> in <math>n</math> sottointervalli <math>[x_k,x_{k+1}]</math> lunghi <math> 1 / n</math>, con <math>x_0=a</math> e <math>x_n=b</math>. L'integrale approssimato è dato dalla sommatoria:
:<math>\;=F(x_n)-F(x_0)=F(b)-F(a)</math>
 
D'altra parte, dalla definizione di [[integrale di Riemann]] l'integrale approssimato che si è considerato deve convergere (se <math>F^\prime</math> è integrabile secondo Riemann) per <math>n \to \infty</math> all'integrale <math>\int_a^b F^\prime(x) \; \mathrm dx</math>; e dunque è dimostrata la formula fondamentale del calcolo.
 
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