Differenze tra le versioni di "Funzione quadratica"

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=Funzione quadratica=
#RINVIA [[Equazione di secondo grado]]
 
In [[algebra]], una '''funzione quadratica''' è una [[funzione]] in una o più variabili definita in modo esplicito attraverso un [[polinomio]] di secondo grado. Ad esempio, una funzione quadratica nelle variabili ''x'', ''y'', ''z'' ha la seguente forma generale:
<math>f(x,y,z)=ax^2+by^2+cz^2+dxy+exz+fyz+gx+hy+iz+j</math> con almeno uno tra <math>a, b, c, d, e, f</math> diverso da 0.
 
Una funzione quadratica in una variabile ha forma<ref>{{cita libro|titolo=I numeri e le funzioni|autore=Roberto Ferrauto|autore2=Maurizio Campitelli|autore3=Armando Ferrauto|autore4=Albero Lanzara|editore=Società editrice Dante Aligieri|città=Roma|anno=2007|volume=2|p=95|ISBN=9788853406705}}</ref>:
<math>f(x)=ax^2+bx+c</math>
 
Il suo [[grafico]] è una [[parabola]] con l'[[Asse di simmetria della parabola|asse di simmetria]] parallelo all'asse ''y''. Uguagliando a zero una funzione quadratica si ottiene una [[equazione di secondo grado]]; le soluzioni dell'equazione di secondo grado sono dette radici del polinomio associato.
[[File:Polynomialdeg2.svg|thumb|Grafico di una funzione quadratica definita da un polinomio di secondo grado con due radici reali e nessuna radice complessa]]
 
Una funzione quadratica in due variabili ha forma:
<math>f(x,y)=ax^2+by^2+cxy+dx+ey+f</math> con <math>a, b, c</math> non contemporaneamente nulli. Il grafico di una funzione quadratica è, in generale, una [[ipersuperficie]] detta [[quadrica]].
Il sottoinsieme di <math> \mathbb{R} ^2</math> descritto da <math>f(x,y)=0</math> è una [[sezione conica]] ([[ellisse]], [[circonferenza]], [[parabola]], [[iperbole]]).
 
I coefficienti del polinomio che definisce la funzione possono essere [[numeri reali|reali]] o [[numeri complessi|complessi]], perché un polinomio può essere definito su qualunque [[anello (algebra)|anello]].
Nel caso in cui tutti i coefficienti dei termini di secondo grado siano uguali a zero, si parla di caso degenere della funzione.
 
I polinomi di secondo grado (e quindi anche le funzioni quadratiche) sono generalizzate sugli [[spazio vettoriale|spazi vettoriali]] dal concetto di [[forma quadratica]].
 
==Etimologia==
L'aggettivo ''quadratico '' deriva dal [[latino]] ''quadratum'' (quadrato). Un termine di secondo grado <math>x^2</math> è detto quadrato perchè rappresenta l'area di un quadrato di lato <math>x</math>.
 
==Forme nel caso in una variabile==
Una funzione quadratica in una variabile può essere espressa in tre forme:
*<math>f(x)=ax^2+bx+c</math>, forma normale;
*<math>f(x)=a(x-x_{1})(x-x_{2})</math>, forma fattorizzata, con <math>x_{1}, x_{2}</math> radici del polinomio associato;
*<math>f(x)=a(x-h)^{2}+k</math>, forma del vertice, dove <math>(h,k)</math> sono le coordinate cartesiane del verice della parabola data dal grafico.
La conversione dalla forma normale a quella fattorizzata si effettua calcolando le radici del polinomio; la conversione dalla forma normale a quella del vertice si effettua attraverso il [[completamento del quadrato]]; la forma normale si ricava dalle altre due eseguendo le [[oprazione|operazioni]] indicate.
 
==Grafico della funzione in una variabile==
[[File:Function ax^2.svg|thumb|350px|<math>f(x)=ax^2|_{a=\{0.1, 0.3, 1, 3\}}\!</math>]]
[[File:Function x^2+bx.svg|thumb|350px|<math>f(x)=ax^2+bx|_{b=\{1, 2, 3, 4\}}\!</math>]]
[[File:Function x^2-bx.svg|thumb|350px|<math>f(x)=ax^2-bx|_{b=\{1, 2, 3, 4\}}\!</math>]]
A prescindere dalla forma dell'espressione, il [[grafico]] di una funzione quadratica in una variabile <math>f(x)=ax^2+bx+c</math> è una [[parabola]]. Da questo si ha, equivalentemente, che una parabola può essere descritta come <math> {(x,y) \in \mathbb{R} ^2 : y=ax^2+bx+c } </math>.
 
Se <math>a>0</math>, la parabola [[Funzione convessa|volge la concavità verso l'alto]]; se <math>a<0</math>, la parabola [[Funzione concava|volge la concavità verso il basso]].
 
Il coefficiente <math>a</math> controlla la curvatura del grafico: maggiore è il suo valore assoluto, più stretta è la parabola. I coefficienti <math>a</math> e <math>b</math> concorrono a definire la posizione dell'[[asse di simmetria della parabola]], quindi la coordinata <math>x_0</math> del [[Vertice della parabola|vertice]], data da <math>x_0=- \frac{b}{2a}</math>. Il coefficiente <math>c</math> controlla l'altezza della parabola; in particolare essa intercetta l'asse ''y'' nel punto di coordinate <math>(0,c)</math>.
 
===Vertice===
Il vertice è il [[massimo e minimo di una funzione|massimo o minimo]] assoluto della parabola. Se la funzione è nella forma del vertice, le sue coordinate sono <math>(h,k)</math>.
 
Attraverso il [[completamento del quadrato]], la forma normale
 
<math>f(x)=ax^2+bx+c</math>
 
può essere trasformata in
 
<math>f(x)=a(x+\frac{b}{2a})^{2}-\frac{b^{2}-4ac}{4a}</math>;
 
ponendo <math> \Delta =b^{2}-4ac </math> ([[discriminante]])
 
allora il vertice ha coordinate <math>\left(-\frac{b}{2a}, -\frac{\Delta}{4a}\right)</math>
 
quindi l'asse di simmetria passa per il vertice.
 
Se la funzione è in forma fattorizzata, sfruttando la simmetria della parabola, si dimostra che le coordinate del vertice possono essere calcolate equivalentemente come <math>\left(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}, f(\frac{x_{1}+x_{2}}{2})\right)</math>.
 
Siccome il punto di vertice è un massimo o un minimo della funzione quadratica, esso può essere trovato attraverso i teoremi dell'[[analisi matematica]]. Quindi, il punto di vertice deve essere radice della [[derivata]]:
 
<math>f(x)=ax^2+bx+c \Rightarrow f'(x)=2ax+b \Rightarrow x=-\frac{b}{2a} </math>
 
in questo punto la funzione vale
 
<math>f\left(-\frac{b}{2a}\right)=a\left(-\frac{b}{2a}\right)^{2}+b\left(-\frac{b}{2a}\right)+c = -\frac{b^{2}-4ac}{4a} = -\frac{\Delta}{4a}</math>
 
quindi le coordinate del vertice sono:
 
<math>\left(-\frac{b}{2a}, -\frac{\Delta}{4a}\right)</math>
 
in accordo con quanto trovato prima.
 
==Radici della funzione in una variabile==
 
{{vedi anche|Equazione di secondo grado}}
[[File:Quadratic function graph key values.svg|thumb|Grafico di una funzione quadratica con [[discriminante]] positivo con:
 
*Radici e intersezioni con l'asse ''y'' in <span style=''color:red''>rosso</span>
*Vertice e asse di simmetria in <span style=''color:blue''>blu</span>
*Fuoco e direttrice in <span style=''color:pink>rosa</span>]]
[[File:quadratic_function_graph_complex_roots.svg|thumb|Visualizzazione delle radici complesse di una funzione quadratica: la parabola è ruotata di 180° intorno al suo vertice (<span style=''color:orange''>arancione</span>). Le sue intersezioni con l'asse ''x'' sono ruotati di 90° intorno al loro punto medio e il piano cartesiano è interpretato come il [[piano complesso]]<ref>{{cita web|url=http://math.hmc.edu/funfacts/ffiles/10005.1.shtml|titolo=Complex Roots Made Visible - Math Fun Facts|accesso=1 ottobre 2016}}</ref>]]
Le radici (o zeri) di una [[funzione]] in una variabile sono i valori di <math>x</math> per i quali <math>f(x)=0</math>. Per il [[teorema fondamentale dell'algebra]] per una funzione quadratica le radici sono due (eventualmente coincidenti). Attraverso il [[completamento del quadrato]] si trova che:
 
<math> x_{1, 2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}</math>.
 
Quindi a seconda del segno del [[discriminante]] si possono avere tre casi:
*<math>\Delta>0</math> due radici [[numeri reali|reali]] e distinte,
*<math>\Delta=0</math> due radici reali e coincidenti, con <math>x_{1}=x_{2}=-\frac{b}{2a}</math>,
*<math>\Delta<0</math> due radici complesse distinte.
 
Il [[valore assoluto|modulo]] delle radici non può essere più grande di <math>\phi\left(\frac{max{|a|,|b|,|c|}}{|a|}\right)</math><ref>{{cita pubblicazione | cognome = Lord | nome = Nick | titolo = Golden bound for the roots of quadratic equation | lingua = en | rivista = Mathematical Gazzette | numero = 91 | mese = novembre | anno = 2007 | p = 549}}</ref>, dove <math>\phi</math> è la [[sezione aurea]] (<math>\phi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}</math>).
 
==Radice quadrata della funzione in una variabile==
 
La funzione data dalla [[radice quadrata]] di una funzione quadratica in una variabile ha forma <math>f(x)=\sqrt{ax^{2}+bx+c}</math> ed ha come grafico una [[ellisse]] o una [[iperbole]].
 
Se <math>a>0</math> il grafico è un'iperbole. La direzione dell' asse dell'iperbole è determinata dall'ordinata del vertice: se è negativa l'asse trasverso è verticale, se è negativa l'asse trasverso è orizzontale.
 
Se <math>a<0</math> il grafico è un'ellisse se esistono due radici reali e distinte; altrimenti è un punto (radici coincidenti), oppure non esiste grafico sul piano cartesiano (radici complesse).
 
==Iterazione==
Iterare una funzione significa applicarla ripetutamente, sostituendo alla variabile indipendente il valore della funzione trovato nella iterazione precedente. L'iterazione ''n''-esima viene indicata con <math>f^{(n)}(x)</math>; la notazione può essere estesa ai numeri negativi se è possibile iterare la [[funzione inversa]] (se esiste) di <math>f(x)</math>. Non è sempre possibile scrivere l'espressione analitica di <math>f^{(n)}(x)</math>. Di seguito sono trattati due casi di funzioni quadratiche iterate in cui può essere scritto la forma analitica in modo esplicito.
 
Per la funzione <math>f(x)=a(x-c)^{2}+c</math> (con <math>a, c</math> parametri reali) la forma iterata è
 
<math>x_{n+1}=a(x_{n}-c)^{2}+c</math>
 
ponendo <math>g(x)=ax^2 h(x)=x-c </math>
 
allora <math> f(x)=h^{-1}(g(h(x))</math>
 
quindi per [[principio di induzione|induzione]] <math> f(x)=h^{-1}(g^{n}(h(x))</math>
 
sempre per induzione si ha che <math>g^{n}(x)=a^{2^{n}-1}x^{2^{n}}</math>
 
allora <math>f(x)=a^{2^{n}-1}(x-c)^{2^{n}}+c</math> è la soluzione esplicita.
 
La [[mappa logistica]] <math>x_{n+1}=rx_{n}(1-x_{n}) 0\le x_{o} <1 </math> con parametro <math>r \in [2,4] </math> può essere risolta solo in alcuni casi, almeno uno dei quali è [[teoria del caos|caotico]] e uno non lo è. Nel caso caotico <math>r=4</math> la soluzione è
 
<math>x_{n}=sin^{2}(2^{n}\theta \pi)</math> dove la condizione iniziale <math>\theta</math> è data da <math>\theta=\frac{1}{\pi}sin^{-1}(\sqrt{x_{0}})</math>.
Per <math>\theta</math> [[numero razionale|razionale]], dopo un numero finito di iterazioni, <math>x_n</math> entra in una sequenza periodica. Per <math>\theta</math> [[numero irrazionale|irrazionale]] <math>x_n</math> non si ripete mai con [[effetto farfalla|sensibile dipendenza dalle condizioni iniziali]]; siccome la maggor parte dei <math>\theta</math> è irrazionale, il comportamento è caotico.
 
La soluzione della mappa logistica con <math>r=2</math> è <math>x_n=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}(1-2x_{0})^{2^{n}}</math> per <math>x_{0} \in [0, 1)</math>.
 
Se <math>(1-2x_{0}) \in (-1, 1)</math>, per ogni valore di <math>x_0</math> diverso dal valore instabile <math>0</math>, il termine <math>(1-2x_0) \rightarrow 0</math> per <math>n \rightarrow +\infty</math>, quindi <math>x_n \rightarrow \frac{1}{2}</math>.
 
==Funzione quadratica in due variabili==
{{vedi anche|Quadrica|Forma quadratica}}
 
Una funzione quadratica in due variabili è una [[funzione]] definita da un [[polinomio]] di secondo grado della forma:
 
<math>f(x,y)=ax^2+by^2+cxy+dx+ey+f</math>
 
dove <math>a, b, c, d, e, f</math> sono costanti e <math>a, b</math> non sono contemporaneamente nulli. Il grafico di questa funzione è una [[superficie]]([[quadrica]]). L' [[insieme]] descritto da <math>f(x,y)=0</math> è l'intersezione tra la superficie e il piano <math>z=0</math> ovvero una [[sezione conica]].
 
===Massimi e minimi===
 
Se <math>4ab-e^2<0</math> la funzione non ha massimi né minimi; il grafico è un [[paraboloide]] iperbolico.
 
Se <math>4ab-e^2>0</math> la funzione ha un punto di massimo (<math>a>0</math>) o di minimo (<math>a>0</math>); il suo grafico è un [[paraboloide ellittico]]. Le coordinate del punto di massimo o minimo sono <math>\left(\frac{de-2bc}{4ab-e^2}, \frac{ce-2ad}{4ab-e^2}\right)</math>.
 
Se <math>4ab-e^2=0</math> e <math>de-2cb=2ad-ce \ne 0</math> la funzione non ha massimi né minimi; il suo grafico è un [[cilindro parabolico]].
 
Se <math>4ab-e^2=0</math> e <math>de-2cb=2ad-ce=0</math> la funzione raggiunge un punto di massimo (<math>a<0</math>) o minimo (<math>a>0</math>); il suo grafico è un cilindro parabolico.
 
==Note==
 
<references/>
 
==Voci correlate==
* [[Funzione]]
* [[Equazione di secondo grado]]
* [[Forma quadratica]]
* [[Sezione conica]]
* [[Quadrica]]
* [[Rappresentazione matriciale delle coniche]]
 
{{Portale|matematica}}
 
[[Categoria:Matematica]]
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