Funzione di trasferimento: differenze tra le versioni

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La funzione di trasferimento di un [[sistema dinamico lineare stazionario]] (LTI) è una [[Funzione (matematica)|funzione]] di variabile [[numero complesso|complessa]] che descrive completamente il comportamento ([[risposta in frequenza|in frequenza]]) del sistema, mettendone in relazione l'ingresso e l'uscita.
Si consideri una funzione <math>u(t) : \R \to \R^n</math> che rappresenta l'ingresso al variare del tempo (<math>t</math>) ed una funzione <math>y(t) : \R \to \R^m</math> che rappresenta l'uscita del sistema nel tempo. Dette <math>U(s)</math> e <math>Y(s)</math> le [[trasformata di Laplace|trasformate di Laplace]] di <math>u(t)</math> e <math>y(t)</math>, la funzione di trasferimento è la funzione
:<math>H(s)=\frac{Y(s)}{U(s)} \qquad s=\sigma+ji\omega \in \C, ji\ \stackrel{\text{def}}{=}\ \sqrt{-1}</math>
 
Un generico sistema dinamico lineare stazionario è descritto da
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In particolare, nel caso in ingresso al sistema LTI vi sia un segnale con componente sinusoidale di ampiezza <math>|X| </math>, [[frequenza angolare]] <math>\omega </math> e fase <math>\arg(X) </math>:
 
:<math> x(t) = Xe^{ji\omega t} = |X|e^{ji(\omega t + \arg(X))} \qquad X = |X|e^{ji\arg(X)} </math>
 
allora l'uscita corrispondente è:
 
:<math> y(t) = Ye^{ji\omega t} = |Y|e^{ji(\omega t + \arg(Y))} \qquad Y = |Y|e^{ji\arg(Y)} </math>
 
In un sistema LTI, infatti, la frequenza <math> \omega </math> del segnale in ingresso non viene modificata, essendo possibile soltanto l'alterazione di ampiezza e fase. La risposta in frequenza <math> H(ji \omega) </math> descrive una tale modifica per ogni frequenza <math> \omega </math> possibile, ed il suo modulo definisce il [[Guadagno (elettronica)|guadagno]]:
 
:<math>G(\omega) = \frac{|Y|}{|X|} = |H(ji \omega)| \ </math>
 
Il cambiamento di fase tra ingresso e uscita è dato da:
 
:<math>\phi(\omega) = \arg(Y) - \arg(X) = \arg( H(ji \omega))</math>
 
mentre i ritardi <math>\tau_{\phi}</math> e <math>\tau_{g}</math> introdotti dalla funzione di trasferimento rispettivamente sulla fase e sull'inviluppo della sinusoide, espressi in funzione della frequenza, sono:
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:<math>H(s)\ \stackrel{\text{def}}{=}\ \mathcal{L}\{h(t)\}\ \stackrel{\text{def}}{=}\ \int_{-\infty}^\infty h(t) e^{-s t} \, \operatorname{d} t</math>
 
è la funzione di trasferimento del sistema, che permette così di ottenere gli autovalori a partire dalla risposta all'impulso di Dirac. Per ogni <math>A</math> e <math>s</math> in <math>\mathbb{C}</math> l'uscita è dunque il prodotto dell'ingresso <math>A e^{st}</math> per una costante dipendente solo dal parametro <math>s</math>, autovalore del sistema LTI relativo all'autovettore <math>A e^{st}</math> (elemento di uno [[spazio vettoriale]] funzionale). Di particolare interesse è il caso in cui l'ingresso è un esponenziale complesso <math>\exp({ji \omega t})</math>, con <math>\omega \in \mathbb{R}</math> e <math>ji\ \stackrel{\text{def}}{=}\ \sqrt{-1}</math>. La funzione di trasferimento è data in tal caso dalla [[trasformata di Fourier]]:
 
:<math>H(ji \omega) = \mathcal{F}\{h(t)\}</math>
 
Mentre la trasformata di Laplace è utilizzata per segnali che sono nulli prima di un certo tempo <math>t_0</math>, solitamente lo zero, la trasformata di Fourier consente di trattare funzioni di durata infinita, con la richiesta (a differenza della trasformata di Laplace in sistemi stabili) di essere [[Funzione quadrato sommabile|quadrato sommabili]].
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:<math>H(z) = \mathcal{Z}\{h[n]\} = \sum_{n=-\infty}^\infty h[n] z^{-n}</math>
 
è la funzione di trasferimento del sistema. Di particolare interesse è il caso in cui le autofunzioni siano sinusoidi pure <math>e^{ji \omega n}</math>, con <math>\omega \in \mathbb{R}</math>, che possono essere scritte come <math>z^n</math>, dove <math>z = e^{ji \omega}</math>. Per funzioni di questo tipo la funzione di trasferimento è data dalla [[trasformata di Fourier a tempo discreto]]:
 
:<math>H(e^{ji \omega}) = \mathcal{F}\{h[n]\}</math>
 
Grazie alle proprietà della convoluzione, nel dominio della trasformata si ottiene una moltiplicazione: