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La legge di Faraday afferma che la [[forza elettromotrice]] indotta in un circuito chiuso da un campo magnetico è pari all'opposto della variazione del [[flusso magnetico]] del campo attraverso l'area abbracciata dal circuito nell'unità di tempo:<ref>{{Cita|Mencuccini, Silvestrini|Pag. 353|mencuccini}}</ref>
 
: <math> \text{f.e.m. }= -{\mathrm d\Phi_B \over \mathrm dt}</math>
 
dove <math>\Phi_B</math> è il flusso del [[campo magnetico]] <math>\mathbf B</math>. Dalla definizione di [[forza elettromotrice]] la precedente relazione può essere scritta come:
 
: <math>\oint_C \mathbf{E} \cdot \operatornamemathrm{d}\mathbf{l }= -{\mathrm d \over \mathrm dt}\int_S \mathbf B \cdot \mbox {d}\mathbf S = -\int_S \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \cdot \mbox {d}\mathbf S</math>
 
applicando il [[teorema del rotore]] al primo membro:
 
:<math>\oint_C \mathbf{E} \cdot \operatornamemathrm{d}\mathbf{l} = \int_S (\nabla \times \mathbf{E}) \cdot \mbox {d}\mathbf S</math>
 
si giunge a:
 
:<math>\int_S (\nabla \times \mathbf{E}) \cdot \mbox {d}\mathbf S = -\int_S \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \cdot \mbox {d}\mathbf S</math>
 
Uguagliando gli integrandi segue la forma locale della legge di Faraday, che rappresenta la terza equazione di Maxwell:<ref>{{Cita|Mencuccini, Silvestrini|Pag. 361|mencuccini}}</ref><ref>{{Cita pubblicazione
dove <math>\mathbf{A}</math> è il [[potenziale vettore]] magnetico, dalla legge di Faraday segue che:
 
:<math>\nabla \times \left( \mathbf{E} + \frac { \partial \mathbf{A} } { \partial t } \right) = \boldsymbol{0} </math>
 
Dal momento che il rotore è definito a meno di un gradiente, si ha:
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