Equazione differenziale: differenze tra le versioni

 

==Storia==

Un altro importante testo è ''[[Théorie analytique de la Chaleur|Théorie analytique de la chaleur]]''<ref>{{Cita libro|cognome= Fourier |nome= Joseph |titolo= Théorie analytique de la chaleur |editore= Firmin Didot Père et Fils |anno= 1822 |città= Paris |lingua= fr |url=http://books.google.com/books?id= | oclc=2688081 }}</ref> del 1822, in cui [[Jean Baptiste Joseph Fourier|Fourier]] espone l'[[equazione del calore]].

 

[[Image:Van der pols equation phase portrait.jpg|upright=1.4|thumb|Le varie soluzioni per differenti condizioni iniziali delle equazioni (ordinarie) che descrivono [[sistema dinamico|sistemi dinamici]] si possono rappresentare geometricamente nello [[spazio delle fasi]]; tale raffigurazione è detta [[ritratto di fase]] (''phase portrait''). In figura il ritratto di fase dell'[[oscillatore di van der Pol]].]]

[[File:VolterraLotka.PNG|thumb|upright=1.4|Alcune soluzioni nello [[spazio delle fasi]] delle [[equazioni di Lotka-Volterra]].]]

ha invece soluzione <math>u(x) = c</math> con <math>c</math> costante.

 

{{vedi anche|Problema di Cauchy}}

Le equazioni differenziali vengono analizzate conferendo un preciso valore ad alcune delle variabili in gioco, in particolare la funzione incognita e le sue derivate (fino all'ordine <math>\kappa-1</math> per un'equazione in forma normale di ordine <math>\kappa</math>) in certi punti del dominio di definizione dell'equazione. Il problema differenziale che ne risulta è detto "problema di Cauchy"; consiste solitamente nel porre delle condizioni iniziali o delle [[condizione al contorno|condizioni al contorno]] per gli estremi del dominio in cui è definita l'equazione.

Il [[teorema di Cauchy-Kovalevskaya]], che si applica sia per le equazioni alle derivate parziali che per quelle ordinarie, stabilisce che se l'incognita e le condizioni iniziali di un'equazione differenziale sono localmente [[funzione analitica|funzioni analitiche]] allora una soluzione analitica esiste ed è unica.<ref>{{cita web|http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Cauchy%E2%80%93Kovalevskaya_theorem|Encyclopedia of Mathematics - Kovalevskaya theorem|06-01-2013}}</ref>

 

{{vedi anche|Equazione differenziale lineare}}

Data una generica equazione ordinaria:

Le equazioni che non sono lineari sono spesso molto difficili da affrontare, ed in molti casi si cercano metodi per [[linearizzazione|linearizzarle]].

 

Una classe di equazioni alle derivate parziali di cui si trovano frequentemente soluzioni analitiche, e che sono ampiamente utilizzate in [[fisica]] ed [[ingegneria]], sono le equazioni lineari del secondo ordine, ovvero del tipo:

 

è ellittica nella regione <math>x < 0</math>, iperbolica nella regione <math>x > 0</math> e parabolica degenere sulla retta <math>x = 0</math>.

 

{{vedi anche|Equazione differenziale algebrica}}

{{...}}

 

{{vedi anche|Formulazione debole}}

{{...}}

 

Un esempio elementare di come le equazioni differenziali possano emergere naturalmente nello studio dei sistemi è il seguente: si supponga di avere una popolazione di batteri composta inizialmente da <math>P(t=0)=P_0</math> individui e sia <math>P(t)</math> la popolazione al tempo <math>t</math>. È ragionevole aspettarsi che, in media, in ogni istante <math>t</math> dopo un tempo relativamente piccolo <math>dt</math> nasca una quantità di nuovi individui proporzionale alla popolazione e al tempo trascorso <math>dt</math>, cioè pari a <math>n P(t) dt</math>, dove <math>n</math> è un numero (che si suppone costante) che individua il tasso di natalità. Analogamente è ragionevole aspettarsi che muoiano <math>m P(t) dt</math> individui nello stesso intervallo di tempo, essendo <math>m</math> il tasso (costante) di mortalità. La popolazione al tempo <math>t+dt</math>, quindi, sarà data dalla popolazione al tempo <math>t</math> a cui si aggiunge la popolazione appena nata e si sottrae quella morta, ovvero:

 

Si tratta di una funzione esponenziale che cresce nel tempo se <math>n>m</math>, cioè se la natalità è maggiore della mortalità, e decresce fino ad annullarsi velocemente se <math>m>n</math>. Il modello che si è esaminato è particolarmente semplificato; in generale il tasso di crescita non è semplicemente proporzionale alla popolazione presente con una costante fissa di proporzionalità: è ragionevole aspettarsi ad esempio che le risorse a disposizione siano limitate ed insufficienti a soddisfare una popolazione arbitrariamente grande. Si possono considerare, inoltre, situazioni più complicate come quella in cui ci siano più popolazioni che interagiscono tra loro, come ad esempio prede e predatori nel [[Equazioni di Lotka-Volterra|modello di Volterra-Lotka]].

 

Solitamente non è possibile trovare soluzioni esatte per le equazioni differenziali. Invece che trovare un'espressione analitica di una funzione che soddisfi l'equazione si è spesso limitati a studiarne l'esistenza e l'andamento qualitativo, oppure se ne determinano soluzioni approssimate servendosi di [[computer]] in grado di effettuare approssimazioni tramite [[Analisi numerica|metodi di calcolo numerici]]. Nel corso dei secoli sono tuttavia stati trovati diversi casi in cui è possibile ricavare l'espressione analitica di funzioni che sono soluzione di un'equazione differenziale, così come sono stati sviluppati molti strumenti di vario tipo per la ricerca di tali soluzioni: per affrontare le equazioni ordinarie si può ricorrere ad esempio all'utilizzo di un [[fattore di integrazione]], del [[metodo delle differenze finite]], del [[metodo delle variazioni delle costanti]] e diversi altri [[Metodi di soluzione analitica per equazioni differenziali ordinarie|metodi di soluzione analitica]] e [[Metodi di soluzione numerica per equazioni differenziali ordinarie|numerica]].

 

* [[Analizzatore differenziale]]

* [[Controllo automatico]]

* [[Derivata]]

* [[Equazione differenziale algebrica]]

* [[Teorema di esistenza di Peano]]

* [[Teorema di esistenza e unicità per un problema di Cauchy]]

 

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