Bisettrice: differenze tra le versioni

=== Proprietà ===

==== Luogo dei punti equidistanti ====

 

:'''Dimostrazione'''<br />Se individuiamo due generici punti <math>\scriptstyle A</math> e <math>\scriptstyle B</math> sui lati dell'angolo tali per cui le relative distanze dalla si intersechino in <math>\scriptstyle R</math> sulla bisettrice, per verificare il teorema occorre che i segmenti <math>\scriptstyle AR</math> e <math>\scriptstyle BR</math> siano congruenti.<br />Per loro definizione una distanza forma un angolo retto con la base, ragione per cui <math>\scriptstyle AR</math> e <math>\scriptstyle BR</math> sono anche i [[cateto|cateti]] di due distinti triangoli rettangoli, aventi <math>\scriptstyle OR</math> come [[ipotenusa]] e un angolo all'origine; essendo quindi le ipotenuse e, per la dimostrazione di sopra, almeno uno degli angoli acuti congruenti, per il terzo [[Criteri di congruenza dei triangoli#Triangoli rettangoli|criterio di congruenza dei triangoli rettangoli]], anche i cateti <math>\scriptstyle AR</math> e <math>\scriptstyle BR</math>, ovvero le distanze, risultano <math>\scriptstyle AR \cong BR</math>.

==== Primo teorema ====

 

 

[[File:Incentro delle bisettrici.png|left]]Il teorema afferma che le bisettrici interne sono segmenti concorrenti in quanto si incontrano in un unico punto all'interno del triangolo. L'unicità di tale punto è poi avvalorata anche dal fatto di essere l'[[incentro]] del triangolo, ovvero il centro della circonferenza inscritta nel poligono (unica per sua definizione) e quindi equidistante da tutti i lati del triangolo, condizione necessaria per soddisfarle contemporaneamente tutte e tre le bisettrici, le quali però, come sappiamo, sono equidistanti soltanto rispetto ai lati del proprio vertice.

==== Teorema della bisettrice ====

 

 

Dato il triangolo ABC e AL la sua bisettrice interna in A, deve valere la seguente proporzione:

 

 

:'''Dimostrazione'''[[File:Teorema della bisettrice interna.png|right]]<br />Si considerino i triangoli ALC e ABL componenti ABC, avendo la stessa altezza, le loro aree staranno nel medesimo rapporto delle basi LC e LB<ref>ALC e ABL hanno la stessa altezza del triangolo originario rispetto alle basi LC e LB; considerando quindi A₁ e A₂ le loro basi si ha <math>\scriptstyle {A_1 \over A_2} ={CL*h \over LB*h}={CL \over LB} </math></ref>, i due segmenti evidenziati dalla bisettrice; date, però, le proprietà di quest'ultima, anche che in L, i due triangoli avranno la medesima altezza<ref>Siccome la bisettrice è equidistante dai lati in ogni sui punto, in L la distanza del vertice dai lati AC e AB, ora basi di ALC e ABL deve essere la stessa</ref>, ragione per cui le loro aree staranno ancora nello stesso rapporto delle basi ora rappresentate da CA e AB, lati del triangolo iniziale.<br />Essendo dunque costante entrambe le volte il rapporto ed essendo sempre le stesse aree possiamo scrivere che: <math>\scriptstyle CA : AB = LC : LB</math> [[Come volevasi dimostrare|Cvd]].

 

'''Corollario'''

<br />

Poiché le bisettrici si incontrano in un unico punto e ognuna di queste evidenzi due triangoli complementari, il precedente corollario non è niente di più che una semplice applicazione del teorema ai triangoli da loro creati, e permette di evidenziare i seguenti rapporti:

==== Primo Teorema ====

 

<br />

Proprio come le bisettrici interne anche le esterne sono equidistanti da entrambi i lati del vertice, anche se uno di questi è rappresentato da un suo prolungamento, è quindi ovvio che, in analogia all'incentro, pure il punto d'incontro di due bisettrici esterne sia dunque equidistante dal lato comune ai vertici come alle proiezione dei lati rimanenti; così come non deve stupire il fatto che per tale punto passi pure la bisettrice interna del terzo vertice.

==== Teorema della bisettrice (esterna) ====

 

<br />

È un teorema simile a quello della bisettrice interna, che afferma che data la bisettrice esterna del vertice A questa incontra il prolungamento del lato opposto, BC, in un punto H, tale che HC e HB stanno tra loro come i lati CA e AB.

<br />

 

[[File:Bisettrice triangolo isoscele.png|right]]Il teorema non è, però, sempre applicabile, mentre, infatti, la sua validità può essere verificata per tutti e tre vertici di un [[triangolo scaleno]], nel caso dei [[triangolo isoscele|triangoli isosceli]] si limita ai soli angoli congruenti (in genere quelli alla base), poiché le due bisettrici esterne del terzo vertice sono parallele.<ref>Nel triangolo isoscele la bisettrice interna, del vertice avente i lati uguali, corrisponde con l'altezza, le bisettrici esterne dunque, essendo perpendicolari all'altezza risultano parallele al lato opposto</ref> al lato opposto, ed è addirittura inapplicabile per i [[triangolo equilatero|triangoli equilateri]].