Equazione differenziale: differenze tra le versioni
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In [[analisi matematica]] un''''equazione differenziale''' è un'[[equazione]] che lega una [[Funzione (matematica)|funzione]] incognita alle sue [[Derivata|derivate]]. Se l'equazione contiene [[derivata parziale|derivate parziali]] della funzione, è detta [[equazione alle derivate parziali]]; se invece la funzione è di una sola variabile l'equazione presenta soltanto derivate ordinarie e viene detta [[equazione differenziale ordinaria]].
== Storia ==▼
Le equazioni differenziali sono tra le equazioni più studiate in [[matematica]], avendo un ruolo fondamentale nella controparte matematica di moltissimi ambiti della [[scienza]] e dell'[[ingegneria]]. Possono descrivere, per esempio, una situazione generale in cui una certa quantità <math>f</math> varia rispetto al tempo in una maniera che dipende dal valore della quantità stessa in quel momento: ciò corrisponde al fatto che nell'equazione compare sia la funzione incognita <math>f</math> che la sua derivata rispetto al tempo <math>df/dt</math>. Nel caso più semplice compare solo la derivata:▼
:<math>\frac{df}{dt}=g(t)</math>▼
e l'equazione viene risolta utilizzando il [[teorema fondamentale del calcolo integrale]]. Le sue soluzioni hanno cioè la forma:▼
:<math>f(t)=f_0 + G(t)</math>▼
dove <math>f_0</math> è costante e <math>G</math> è la [[Primitiva (matematica)|primitiva]] di <math>g</math>:▼
:<math>G(t)= \int g(x)dx </math>▼
Si tratta tuttavia di relazioni di cui è raramente possibile avere una forma analitica della soluzione, o una sua espressione in termini di funzioni elementari, ma vengono piuttosto studiate l'esistenza e l'unicità delle soluzioni e il loro comportamento in contesti di particolare interesse, solitamente in relazione alla situazione di un [[fisica|sistema fisico]] descritto dall'equazione differenziale. L'insieme di tutte le soluzioni di un'equazione differenziale è detto ''integrale generale'' dell'equazione differenziale data.▼
Lo studio delle equazioni differenziali, come avviene spesso in matematica, è stato fortemente influenzato dall'esigenza di analizzare problemi concreti; coinvolge poi diversi ambiti, come l'[[algebra lineare]], l'[[analisi numerica]] e l'[[analisi funzionale]]. <!-- Senza fonte -->▼
▲==Storia==
Lo studio delle equazioni differenziali ha inizio in seguito all'introduzione del [[calcolo infinitesimale]] da parte di [[Isaac Newton|Newton]] e [[Leibniz]] nel diciassettesimo secolo. Nel secondo capitolo del suo testo del 1671 ''Methodus fluxionum et Serierum Infinitarum'',<ref>Newton, Isaac. (c.1671). Methodus Fluxionum et Serierum Infinitarum (The Method of Fluxions and Infinite Series), published in 1736 [Opuscula, 1744, Vol. I. p. 66].</ref> Isaac Newton focalizza il discorso su tre tipologie di equazioni differenziali di primo grado, di cui due ordinarie:
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Un altro importante testo è ''[[Théorie analytique de la Chaleur|Théorie analytique de la chaleur]]''<ref>{{Cita libro|cognome= Fourier |nome= Joseph |titolo= Théorie analytique de la chaleur |editore= Firmin Didot Père et Fils |anno= 1822 |città= Paris |lingua= fr |url=http://books.google.com/books?id= | oclc=2688081 }}</ref> del 1822, in cui [[Jean Baptiste Joseph Fourier|Fourier]] espone l'[[equazione del calore]].
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▲Le equazioni differenziali sono tra le equazioni più studiate in [[matematica]], avendo un ruolo fondamentale nella controparte matematica di moltissimi ambiti della [[scienza]] e dell'[[ingegneria]]. Possono descrivere, per esempio, una situazione generale in cui una certa quantità <math>f</math> varia rispetto al tempo in una maniera che dipende dal valore della quantità stessa in quel momento: ciò corrisponde al fatto che nell'equazione compare sia la funzione incognita <math>f</math> che la sua derivata rispetto al tempo <math>df/dt</math>. Nel caso più semplice compare solo la derivata:
▲:<math>\frac{df}{dt}=g(t)</math>
▲e l'equazione viene risolta utilizzando il [[teorema fondamentale del calcolo integrale]]. Le sue soluzioni hanno cioè la forma:
▲:<math>f(t)=f_0 + G(t)</math>
▲dove <math>f_0</math> è costante e <math>G</math> è la [[Primitiva (matematica)|primitiva]] di <math>g</math>:
▲:<math>G(t)= \int g(x)dx </math>
▲Si tratta tuttavia di relazioni di cui è raramente possibile avere una forma analitica della soluzione, o una sua espressione in termini di funzioni elementari, ma vengono piuttosto studiate l'esistenza e l'unicità delle soluzioni e il loro comportamento in contesti di particolare interesse, solitamente in relazione alla situazione di un [[fisica|sistema fisico]] descritto dall'equazione differenziale. L'insieme di tutte le soluzioni di un'equazione differenziale è detto ''integrale generale'' dell'equazione differenziale data.
▲Lo studio delle equazioni differenziali, come avviene spesso in matematica, è stato fortemente influenzato dall'esigenza di analizzare problemi concreti; coinvolge poi diversi ambiti, come l'[[algebra lineare]], l'[[analisi numerica]] e l'[[analisi funzionale]]. <!-- Senza fonte -->
=== Definizione ===
[[Image:Van der pols equation phase portrait.jpg|upright=1.4|thumb|Le varie soluzioni per differenti condizioni iniziali delle equazioni (ordinarie) che descrivono [[sistema dinamico|sistemi dinamici]] si possono rappresentare geometricamente nello [[spazio delle fasi]]; tale raffigurazione è detta [[ritratto di fase]] (''phase portrait''). In figura il ritratto di fase dell'[[oscillatore di van der Pol]].]]
[[File:VolterraLotka.PNG|thumb|upright=1.4|Alcune soluzioni nello [[spazio delle fasi]] delle [[equazioni di Lotka-Volterra]].]]
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ha invece soluzione <math>u(x) = c</math> con <math>c</math> costante.
=== Problema di Cauchy ===
{{vedi anche|Problema di Cauchy}}
Le equazioni differenziali vengono analizzate conferendo un preciso valore ad alcune delle variabili in gioco, in particolare la funzione incognita e le sue derivate (fino all'ordine <math>\kappa-1</math> per un'equazione in forma normale di ordine <math>\kappa</math>) in certi punti del dominio di definizione dell'equazione. Il problema differenziale che ne risulta è detto "problema di Cauchy"; consiste solitamente nel porre delle condizioni iniziali o delle [[condizione al contorno|condizioni al contorno]] per gli estremi del dominio in cui è definita l'equazione.
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