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Velocità areolare: differenze tra le versioni

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==Generalità==
Dato un oggetto in moto, si chiama velocità areolare la quantità vettoriale avente modulo pari alla derivata rispetto al tempo dell'area spazzata dal vettore posizione ('''raggio vettore''') <math>\vec r</math>, direzione perpendicolare al piano istantaneo dell'orbita e verso dato dalla regola della mano destra:
: <math>\ddotdot\mathbf{A}=\frac{\mathbfoperatorname{ad}\times!A}{\mathbfoperatorname{rd}}{2\!t}</math>▼
 
Nel SI si misura in <math> \dot\mathbfmathrm{A}=\frac{\operatorname{dAm^2}}{\operatorname{dts}}</math>.
 
Nel SI si misura in <math>\frac{m^2}{s}</math>.▼
 
Se il moto avviene sotto l'azione di una [[forza centrale]], ovvero diretta sempre lungo la retta congiungente la posizione istantanea con un polo fisso, rispetto a tale polo si ha che il [[momento meccanico]] è nullo e quindi il [[momento angolare]] e la velocità areolare si conservano.
 
==Valutazione del modulo==
La velocità areolare dipende dal punto di riferimento: l'origine del [[sistema di coordinate]] del raggio vettore, che risulta funzione del tempo. La figura mostra una curva regolare in blu. Al tempo <math>\ t</math> una particella mobile si trova postoposta in <math>\ B</math>, mentre al tempo <math>\ t+\Delta t</math> la particella si è spostata in <math>\ C</math>. L'area spazzata durante il periodo di tempo <math>\ \Delta t</math> dal raggio vettore è approssimativamente uguale all'area del triangolo '''ABC'''. Coll'approssimarsi di <math>\ \Delta tABC</math> a zero questa areae diventa esatta al limite per <math>\Delta t\rightarrow0</math>. Nel frattempo, i vettori <math>\mathbf {AB}</math> e <math>\mathbf {AC}</math> si assommanosommano con la regola del parallelogramma nel vettore <math>\mathbf {AD}</math>, cosicché il punto <math>\ D</math> risulta il quarto angolo del parallelogramma '''<math>ABCD'''</math> indicato nella figura.
 
L'area del triangolo '''ABC''' (in giallo) è metà dell'area del parallelogramma '''ABCD''', e l'area del parallelogramma è uguale alla grandezza del prodotto esterno dei vettori <math>\mathbf {AB}</math> e <math>\mathbf {AC}</math>, cosicché:▼
 
<math>\mathbf{A}_{(ABCD)}=\mathbf{r}(t)\times\mathbf{r}(t+\Delta t)\Rightarrow\mathbf{A}_{(ABC)}=\frac{\mathbf{r}(t)\times\mathbf{r}(t+\Delta t)}{2}</math>▼
 
▲L'area del triangolo '''ABC''' (in giallo) è metà dell'area del parallelogramma '''ABCD''', e l'area del parallelogramma è uguale alla grandezza del prodotto esterno dei vettori <math>\mathbf {'''AB}</math>''' e <math>\mathbf {'''AC}</math>''', cosicché:
▲: <math>\mathbf{A}_{(ABCD)}=\mathbf{r}(t)\times\mathbf{r}(t+\Delta t)\Rightarrow \Longrightarrow\ \mathbf{A}_{(ABC)}=\frac{\mathbf{r}(t)\times\mathbf{r}(t+\Delta t)}{2}</math>
La velocità areolare è:
: <math>\dot\mathbf{A}=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta\mathbf{A}}{\Delta t}=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{\mathbf{r}(t)\times\mathbf{r}(t+\Delta t)}{2\Delta t}=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{\mathbf{r}(t)\times[\mathbf{r}(t)+ \dot\mathbf{r}(t)\Delta t]}{2\Delta t}=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{\mathbf{r}(t)\times\dot\mathbf{r}(t)\Delta t}{2\Delta t}=\frac{\mathbf{r}(t)\times\dot\mathbf{r}(t)}{2}</math>
 
Ma <math>\dot\mathbf{Ar}=(t)</math> è la [[Velocità|velocità lineare]] del vettore <math>\lim_{\Deltamathbf v(t\to)</math>, 0}per cui: <math>\frac{\Deltadot\mathbf{A}}{\Delta t}=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{\mathbf{r}(t)\times\mathbf{rv}(t+\Delta t)}{2\Delta t}=</math>.
 
<math>=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{\mathbf{r}(t)\times[\mathbf{r}(t)+ \dot\mathbf{r}(t)\Delta t]}{2\Delta t}=</math>▼
 
<math>=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{\mathbf{r}(t)\times\dot\mathbf{r}(t)\Delta t}{2\Delta t}=\frac{\mathbf{r}(t)\times\dot\mathbf{r}(t)}{2}</math>▼
 
Ma, <math>\dot\mathbf{r}(t)</math> è la [[Velocità|velocità lineare]] del vettore <math>\mathbf v(t)</math> cosicché: <math>\dot\mathbf{A}=\frac{\mathbf{r}\times\mathbf{v}}{2}</math>
 
== Accelerazione areolare ==
Come avviene per le altre velocità, l''''accelerazione areolare''' è definita come la [[derivata]] prima, rispetto al tempo, della velocità areolare:
: <math>\ddot\mathbf{A}=\frac{\operatorname{d}\!\dot\mathbf{A}}{\operatorname{dtd}\!t}=\frac{\operatorname{d^2}\!\!A}{{\operatorname{dtd}\!t}^2}}=\frac{\operatorname{d}}{\operatorname{dtd}\!t}\Biglleft(\frac{\mathbf{v}\times\mathbf{r}}{2}\Bigrright)=\frac{1}{2}\frac{\operatorname{d}}{\operatorname{dtd}\!t}(\mathbf{v}\times\mathbf{r})=\frac{1}{2}\Biglleft(\frac{\operatorname{d}\!\mathbf{r}}{\operatorname{dtd}\!t}\times\mathbf{v}+\frac{\operatorname{d}\!\mathbf{v}}{\operatorname{dtd}\!t}\times\mathbf{r}\Bigrright)</math>▼
ma <math>\frac{\operatorname{d}\!\mathbf{r}}{\operatorname{dtd}\!t}</math> e <math>\mathbf{v}</math> sono vettori paralleli, dunque il loro [[prodotto vettoriale]] è nullo, mentre <math>\frac{\operatorname{d}\!\mathbf{v}}{\operatorname{dtd}\!t}</math> è uguale ad <math>\mathbf{a}</math>, l'[[accelerazione tangenziale]].▼
 
Perciò dalla formula scritta sopra diventasi ottiene:▼
▲<math>\ddot\mathbf{A}=\frac{\operatorname{d}\dot\mathbf{A}}{\operatorname{dt}}=\frac{\operatorname{d^2}A}{\operatorname{dt^2}}=\frac{\operatorname{d}}{\operatorname{dt}}\Bigl(\frac{\mathbf{v}\times\mathbf{r}}{2}\Bigr)=\frac{1}{2}\frac{\operatorname{d}}{\operatorname{dt}}(\mathbf{v}\times\mathbf{r})=\frac{1}{2}\Bigl(\frac{\operatorname{d}\mathbf{r}}{\operatorname{dt}}\times\mathbf{v}+\frac{\operatorname{d}\mathbf{v}}{\operatorname{dt}}\times\mathbf{r}\Bigr)</math>
▲: <math>=\lim_ddot\mathbf{\Delta t\to 0A}=\frac{\mathbf{ra}(t)\times[\mathbf{r}(t)+ \dot\mathbf{r}(t)\Delta t]}{2\Delta t}=</math>
 
▲che è l'espressione dell'accelerazione areolare. Nel SI si misura in <math>\mathrm{\frac{m^2}{s^2}}</math>.
▲ma <math>\frac{\operatorname{d}\mathbf{r}}{\operatorname{dt}}</math> e <math>\mathbf{v}</math> sono vettori paralleli, dunque il loro [[prodotto vettoriale]] è nullo, mentre <math>\frac{\operatorname{d}\mathbf{v}}{\operatorname{dt}}</math> è uguale ad <math>\mathbf{a}</math>, l'[[accelerazione tangenziale]].
 
▲Perciò dalla formula scritta sopra diventa:
 
▲<math>\ddot\mathbf{A}=\frac{\mathbf{a}\times\mathbf{r}}{2}</math>
 
che è l'espressione dell'accelerazione areolare. Nel SI si misura in <math>\frac{m^2}{s^2}</math>.
 
== Moto centrale ==
In un moto centrale la velocità areolare è costante durante il moto:
: <math>\mathbf{a}=\mathbf{a}_c\Rightarrow \Longrightarrow\ \mathbf{a}_t=\frac{\mathbf{h}}{r}\frac{\operatorname{d}}{\operatorname{dtd}\!t}(r^2\dot\mathbf{A})=\frac{2}{r}\frac{\operatorname{d}\!\dot\mathbf{A}}{\operatorname{dtd}\!t}\mathbf{h}=0\Rightarrow \Longrightarrow\ \frac{\operatorname{d}\!\dot\mathbf{A}}{\operatorname{dtd}\!t} = 0</math>▼
 
Ee quindi l'area spazzata da un raggio vettore ha equazione oraria tipica di un [[moto rettilineo uniforme|moto uniforme]]:▼
▲<math>\mathbf{a}=\mathbf{a}_c\Rightarrow\mathbf{a}_t=\frac{\mathbf{h}}{r}\frac{\operatorname{d}}{\operatorname{dt}}(r^2\dot\mathbf{A})=\frac{2}{r}\frac{\operatorname{d}\dot\mathbf{A}}{\operatorname{dt}}\mathbf{h}=0\Rightarrow\frac{\operatorname{d}\dot\mathbf{A}}{\operatorname{dt}} = 0</math>
: <math>\mathbf A_{r (t)} = \dot \mathbf A (t - t_0) + \mathbf A_{r (t_0)}</math>▼
 
▲E quindi l'area spazzata da un raggio vettore ha equazione oraria tipica di un [[moto rettilineo uniforme|moto uniforme]]:
 
▲<math>\mathbf A_{r (t)} = \dot \mathbf A (t - t_0) + \mathbf A_{r (t_0)}</math>
 
Questa è una generalizzazione della [[seconda legge di Keplero]] a tutti i moti centrali.
 
==Momenti vettori==
Si osservi che il doppio della velocità areolare sta aal [[momento angolare]] <math>\mathbf{L}</math> e al [[momento meccanico]] <math>\mathbf{M}</math> come la velocità lineare rispettivamente alla [[quantità di moto]] <math>\mathbf{p}=m\mathbf{v}</math> e alla [[forza]] '''<math>\mathbf{F}=m\mathbf{a}</math>''', cioè:
▲: <math>\mathbf L=\lim_mathbf{r}\Delta ttimes\to 0mathbf{p}\frac{= \mathbf{r}(t)\times\dot m(\mathbf{rv}(t)_r+ \Delta t}mathbf{2\Delta tv})=\frac{\mathbf{r}(t)\times m\mathbf{v}=2m\dot\mathbf{r}(t)}{2A}</math>
 
: <math>\mathbf L=\mathbf{r}\times\mathbf{pM}= \mathbf{r}\times m(dot\mathbf{vL}_r+ \mathbf{v})=\mathbf{r}\times m\mathbf{v}=2m\dotddot\mathbf{A}</math>
e inoltreInoltre, l'[[energia cinetica]] vale:▼
 
: <math>K=\frac{1}{2}\mathbf{M}= \dotcdot\mathbf{Lv}= 2mm\ddotdot\mathbf{A}\cdot\mathbf{v}</math>
 
▲e inoltre l'[[energia cinetica]] vale:
 
<math>E_k=\frac{1}{2}\mathbf{M}\cdot\mathbf{v}=m\dot\mathbf{A}\cdot\mathbf{v}</math>
 
==Voci correlate==
Estratto da "https://it.wikipedia.org/wiki/Velocità_areolare"