Differenze tra le versioni di "Topografia"

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Il ''campo topografico'' è la parte della superficie terrestre intorno ad un punto, entro cui si può ritenere trascurabile l'errore di sfericità ai fini planimetrici ed entro cui è possibile, pertanto, eseguire un rilievo planimetrico senza commettere errori che influiscano sensibilmente sui risultati delle operazioni topografiche.
 
L'errore di sfericità che si commette nella misura delle distanze è pari a: <math>x=D-\frac{\omega''\cdot R}{206.205''}</math>. L'errore di sfericità che si commette nella misura dei dislivelli è pari a: <math>x=\frac{D^2}{2\cdot R}</math> in cui D è la distanza, R il raggio della terra, <math>\omega</math> l<nowiki>'angolo al centro della sfera locale e 206.205''</nowiki> la misura in secondi sessagesimali di un [[radiante]].
 
Il raggio del campo topografico si può estendere sino a 10&nbsp;km circa quando si proceda a misure di distanza con precisione 1/1.000.000 (un millimetro su un chilometro). Nella grande maggioranza dei rilievi di estensione limitata è sufficiente la precisione di 1:200.000, con raggio del campo topografico sino a circa 25&nbsp;km. Nel caso in cui si proceda al rilievo delle quote, il campo topografico si riduce a poche centinaia di metri.
** [[Proiezione di Gall-Peters]]
** [[Proiezione di Mollweide]] ''pseudocilindrica'' o ''ellittica''
** [[Proiezione di Robinson]] ''pseudocilindrica''
* Proiezioni coniche
** [[Proiezione conica equidistante]]
[[File:Triangqual.png|miniatura|151x151px]]
<u>[[Triangolo rettangolo]]</u>
* Relazioni fra gli elementi di un triangolo rettangolo (con <math>\alpha=100 gon</math>):
<math>\frac{b}{a} = \sen\beta \qquad \frac{c}{a} = \cos\beta \qquad \frac{b}{c} = \tan\beta \qquad \frac{c}{b} = \cot\beta </math> e analoghe per rotazione
* [[Teorema di Pitagora]]
<u>[[Triangolo]] qualunque</u>
* [[Teorema dei seni]] <math>a=b\frac{\sen\alpha}{\sen\beta} \qquad \alpha = \operatorname{arcsen}\biggl(\frac{a\cdot \sen\beta}{b}\biggr)</math> e analoghe per rotazione
* [[Teorema del coseno|Teorema del coseno o di Carnot]] <math>a=\surd b^2+c^2-2bc\cdot \cos\alpha \qquad \alpha = \arccos \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} </math> e analoghe per rotazione
 
* [[Teorema di Nepero|Teorema delle tangenti o di Nepero]] <math>N=\frac{1}{2}(\alpha-\beta) = \arctan\biggl(\frac{a-b}{a+b}cot\gamma/2\biggr) </math>; <math>M=\frac{1}{2}(\alpha + \beta)= \frac{\pi}{2}-\frac{\gamma}{2}</math> ; <math>\alpha=M+N;\quad \beta=M-N</math>
 
* Teorema delle cotangenti o di Viète: <math>\alpha = \arctan\biggl(\frac{1}{\frac{b}{a\cdot \sen\ \gamma}-cot\gamma}\biggr)</math> e analoghe per rotazione
* [[Formule di Briggs]] <math>\alpha = 2\ \arctan \surd\frac{(p-b)(p-c)}{p(p-a)} </math> e analoghe per rotazione
* Formule dell'area: <math>S=\frac{1}{2}a\cdot b \cdot \sen\alpha \qquad S=\frac{1}{2}a^2\frac{\sen\beta \cdot \sen\gamma}{\sen\alpha}\qquad S=\surd p(p-a)(p-b)(p-c) </math> ([[Formula di Erone]])
 
* Raggi cerchi notevoli: circoscritto <math>R = \frac{a}{2sen2\sen\alpha}</math> ; inscritto <math>r=\surd \frac{(p-a)(p-b)(p-c)}{p}</math> ; ex-inscritto <math>r_a=p\cdot \tan \frac{\alpha}{2}</math>
[[File:RisolQconTriangRett.png|miniatura|242x242px]]
Le formule dei triangoli qualunque sopra riportate sono applicabili ognuna a seconda degli elementi noti che disponiamo del triangolo, o del quadrilatero od altro poligono riconducibile ad una somma di triangoli mediante la scomposizione tramite diagonali.
 
====== Conversione di coordinate ======
Passaggio da coordinate cartesiane a coordinate polari con la funzione <math>(AB)^* = \arctan\frac{X_B - X_A}{Y_B - Y_A}</math> e riporto degli angoli al vero quadrante
 
1° quadrante + / + -------------> (AB) = (AB)*
I segnali vanno dimensionati e posizionati in maniera da essere visibili alle distanze convenute ad occhio nudo e, in alcuni casi, col cannocchiale. È quindi necessario tenere presente che l'occhio umano possiede un'acuità visiva di 60", cioè può vedere un oggetto solo se appare entro un angolo visuale maggiore o uguale a 60".
 
Considerando l'altezza d dell'oggetto come l'archetto di una circonferenza di raggio pari alla distanza D dell'oggetto dall'occhio, ed <math>\alpha</math> = 60", questa può essere calcolata con l'espressione <math>d=D\cdot \alpha^{rad}=D\frac{\alpha ''}{\varrho ''}</math> ed essendo <math>\alpha ''</math>= 60" e <math>\varrho ''</math>= 206.265" si ha che: d = 0,0003*D. Se invece si utilizza un occhiale di ingrandimento I, d = 0,0003*D/I
 
'''Segnali provvisori'''
<u>A [[rifrazione]]</u>
 
Costruzione geometrica del raggio rifratto: <math>\hat{r} = \operatorname{arcsen} \frac{\sen\widehat{i}}{n}</math> dove r = raggio rifratto, i = raggio incidente, n = [[indice di rifrazione]]
* '''Lastra piana e parallela'''
*[[File:Prismjadanza.png|miniatura]]'''Prisma ottico qualsiasi e teorema generale sui prismi (o di Jadanza)'''
* '''Distanziometri a laser'''
* '''Distanziometri a prisma'''
* '''Telemetri''' Il telemetro consiste in un'asta con lunghezza nota b, (o anche variabile nel caso di telemetro a base variabile) alle cui estremità sono montati due cannocchiali, di cui uno con l'asse retto rispetto all'asta, in A, e l'altro, in B, libero di ruotare intorno al suo asse verticale, dotato di cerchio orizzontale che permette di leggere l'angolo rispetto al punto P collimato. La distanza è calcolabile risolvendo il triangolo ABP, in cui l'angolo letto <math>\alpha</math> esterno al triangolo, è anche l'angolo <math>B\widehat{P}A</math> interno: <math>D = b \cdot cotg \operatorname{cotg} \alpha</math>
* '''Strumenti autoriduttori.''' Nelle misure con stadia verticale, i cannocchiali con reticolo autoriduttore fanno variare l'angolo parallattico in modo che, qualunque sia l'inclinazione dell'asse di collimazione ( <math>S(\varphi)=\frac{2\cdot D\cdot tan\tan \alpha}{\sen^2\ \alpha}</math> ''variazione'' ''nel caso di cannocchiale ad angolo parallattico costante'') la differenza delle letture ai fili S rimanga costante.
* '''Mediante stadia e cannocchiale distanziometrico'''
 
* ''stadia verticale e cannocchiale ad angolo parallattico costante'':
<blockquote>Dato che <math>r / f = S / D</math>, ''in cui'' r = ''distanza tra i fili estremi del micrometro''; f = ''distanza focale dell'obiettivo''; '''S = (''l''<sub>1</sub> - ''l''<sub>2</sub>)''' = ''intervallo di stadia letto ai fili distanziometrici del reticolo''; D = ''distanza fra il punto anallattico e la stadia''. r / f = k = ''costante diastimometrica o distanziometrica [pari a 50, 100 o 200], si ha che:'' <math>D=k\cdot S</math> </blockquote><blockquote>- con asse di collimazione orizzontale <math>D=k\cdot S+c</math>. con c = e + f, ''[35-50 cm],'' e = ''distanza fra i centri strumentale e lente obiettivo,'' f = ''distanza focale dell'obiettivo''</blockquote><blockquote>- con asse di collimazione inclinato <math>D=k\cdot S\cdot \sen^2\ \varphi = k\cdot S\cdot \cos^2\ \alpha</math> con <math>\alpha=\frac{\pi}{2}-\varphi</math></blockquote>
* ''stadia verticale e cannocchiale ad angolo parallattico variabile'', con asse di collimazione anche inclinato <math>D=\frac{l_1-l_2}{cotg \operatorname{cotg} \varphi_1 -cotg \operatorname{cotg} \varphi_2}=(l_2-l_2)\cdot\frac{\sen\ \varphi_1 - \sen\varphi_2}{\sen(\varphi_2-\varphi_1)}</math>
 
* ''stadia orizzontale e cannocchiale ad angolo parallattico costante,'' con asse di collimazione anche inclinato <math>D=k\cdot S\cdot sen\sen \varphi+c\cdot sen\sen \varphi=k\cdot S\cdot cos\cos \alpha + c \cdot cos\cos \alpha</math>
* ''stadia orizzontale e cannocchiale ad angolo parallattico variabile,'' con asse di collimazione anche inclinato <math>D=\frac{S}{2}\cdot cotg\operatorname{cotg} \varphi</math>
* '''Mediante ecclimetri''' <math>D=\frac{l_1-l_2}{tg \operatorname{tg} \alpha_1 -tg \operatorname{tg} \alpha_2}=(l_1-l_2)\cdot\frac{cos\cos \alpha_1\cdot \cos\alpha_2}{\sen(\alpha_1-\alpha_2)}</math>
* '''Mediante clisimetri''' <math>D=\frac{l_1-l_2}{p_1-p_2}</math>
'''<big>Strumenti per la misura dei dislivelli</big>'''
Il [[GPS]] viene utilizzato anche frequentemente per scopi topografici/[[cartografia|cartografici]]. In genere, per le applicazioni topografiche, dove le precisioni richieste sono di tipo centimetrico, non si utilizzano le normali tecniche di rilievo GPS utilizzate per la navigazione. La tecnica più diffusa è quella della misura in differenziale. Essendo la differenza tra il valore delle reali coordinate del punto e quelle rilevate dallo strumento GPS, variabili nel tempo ma costanti a livello locale, è possibile operare con due strumenti in contemporanea. Uno, il master, verrà localizzato su un punto noto nei pressi del punto da rilevare. L'altro, il rover, effettuerà il rilievo. Avendo, attraverso il master, la registrazione dell'errore locale, istante per istante, le letture del rover verranno corrette attraverso queste ottenendo precisioni fino a 2 ppm, ovvero 1 millimetro su un chilometro.
 
== Metodi di rilievo<ref name=":0" /><ref name=":1" /> ==
 
=== Rilevamento altimetrico: misura dei dislivelli ===
Nelle seguenti formule per ''h'' si intende l'altezza strumentale nel punto di osservazione, per ''l'' la lettura, o l'altezza strumentale nel punto osservato, per ''R'' il [[Raggio terrestre|raggio della terra]], per ''k'' l'indice di [[rifrazione atmosferica]], (per l'Italia 0,12 - 0,14 da sud a nord) e per <math>\varphi_A</math> l'angolo zenitale apparente misurato nel punto di stazione.
 
====== [[Livellazione geometrica]] ======
* Livellazione geometrica da un estremo <math>\Delta_{AB}=h-l</math>
* Livellazione geometrica dal mezzo <math>\Delta_{AB}=l_A-l_B</math>
* Livellazione geometrica reciproca <math>\Delta_{AB}=\frac{(h_A-h_B)+(l_A-l_B)}{2}</math>, e, calcolando l'errore <math>x=\frac{(l_A+l_B)-(h_A+h_B)}{2}</math> è inoltre possibile effettuare la rettifica del livello
* Livellazione geometrica composta <math>\Delta_{AB}=\Sigma h-\Sigma l</math>
 
====== Livellazioni a visuale libera ======
* Livellazione trigonometrica reciproca <math>\Delta_{AB}=h_A-l_B+\Bigl(1+\frac{H_m}{R}\Bigr)\cdot D\cdot \tan\frac{1}{2}(\varphi_B-\varphi_A)</math> ''H<small>m</small>: quota media tra A e B calcolata in prima approssimazione ponendo H<small>m</small>=H<small>A</small>''
* Livellazione trigonometrica da un estremo <math>\Delta_{AB}=h_A-l_B+D\cdot \operatorname{cotg}\varphi_A+\frac{1-k}{2R}\cdot D^2</math>
 
* Calcolo della quota di un punto A dal quale è visibile l'orizzonte marino <math>Q_A =\frac{R}{2(1 - k)} \operatorname{cotg}^2\varphi_A - h_A</math>
** Problema del faro: distanza D di un punto dell'orizzonte marino dal quale è visibile un faro alla quota H<small>A</small> = Q<small>A</small> + h<small>A:</small> <math>D^2=\frac{2R(Q_A+h_A)}{1-k}</math> o, problema inverso, l'altezza h<small>A</small> che deve avere un faro posto nel punto A, di quota nota Q<small>A</small>, affinché sia visibile dalla distanza D prefissata: <math>h_A=\frac{1-k}{2R}D^2-Q_A</math>
 
I metodi di intersezione formulati prevedono di stazionare direttamente sui punti di coordinate note, o che i punti siano reciprocamente visibili. Ciò nella pratica è difficilmente attuabile e pertanto il collegamento tra punti avviene in realtà mediante l'inserimento di poligonali.
* ''INTERSEZIONE IN AVANTI SEMPLICE E MULTIPLA''
Permette di determinare le coordinate planimetriche di un punto P inaccessibile, ma visibile da due punti di coordinate note A e B, accessibili e reciprocamente visibili<blockquote>elementi noti: <math>[X_A; Y_A]\qquad [X_B; Y_B]\qquad [B\widehat{A}P] \qquad [P\widehat{B}A]
 
</math></blockquote>
[[File:Intav.jpg|miniatura]]
<blockquote> </blockquote><blockquote><math>(AB)^* = \arctan\frac{X_B - X_A}{Y_B - Y_A};\qquad AB = \frac{X_B - X_A}{\sen (AB)} = \frac{Y_B - Y_A}{\cos (AB)}</math></blockquote><blockquote><math>(AP) = (AB) - B\widehat{A}P; \qquad (BP) = (AP) \pm \pi</math></blockquote><blockquote><math>A\widehat{P}B= \pi - (B\widehat{A}P+ P\widehat{B}A)</math></blockquote><blockquote><math>AP = \frac{AB \sen P\widehat{B}A}{\sen A\widehat{P}B}; \qquad BP = \frac{AB \sen B\widehat{A}P}{\sen A\widehat{P}B}</math> (''[[Teorema dei seni]]'')</blockquote><blockquote><math>(x_P)_A = AP \sen (AP); \qquad (y_P)_A = AP \cos (AP)</math>; </blockquote><blockquote><math>X_P = X_A + (x_P)_A; \qquad Y_P = Y_A + (y_P)_A;</math></blockquote><blockquote>Per verifica le coordinate di P possono essere calcolate in modo analogo anche rispetto a B. </blockquote><blockquote>Nell'intersezione in avanti multipla il procedimento descritto viene ulteriormente reiterato su altri punti di coordinate note e le coordinate di P si calcolano come media aritmetica dei risultati ottenuti.</blockquote>
* ''INTERSEZIONE LATERALE SEMPLICE E MULTIPLA''
Permette di determinare le coordinate planimetriche di un punto P accessibile, e visibile da due punti di coordinate note A e B, dei quali solo uno è accessibile.
Il procedimento di risoluzione è del tutto simile all'intersezione in avanti.
* ''INTERSEZIONE INVERSA''
[[File:Pothenot.png|miniatura|224x224px]]<blockquote>'''Metodo di [[Willebrord Snel|Snellius]]-Pothenot'''</blockquote>Permette di determinare le coordinate planimetriche di un punto di stazione P dal quale sono visibili tre punti di coordinate note A, B e C<blockquote>elementi noti: <math>[X_A; Y_A]\qquad [X_B; Y_B]\qquad [X_C; Y_C]\qquad [\alpha] \qquad [\beta]
</math></blockquote><blockquote><math>(BA)^* = \arctan\frac{X_A - X_B}{Y_A - Y_B}; \qquad BA = \frac{X_A - X_B}{\sen (BA)} = \frac{Y_A - Y_B}{\cos (BA)}</math></blockquote><blockquote><math>(BC)^* = \arctan\frac{X_C - X_B}{Y_C - Y_B}; \qquad BC = \frac{X_C - X_B}{\sen (BC)} = \frac{Y_C - Y_B}{\cos (BC)}</math> </blockquote><blockquote><math>\gamma = (BA) - (BC)</math></blockquote><blockquote><math>\frac{x + y}{2} = \pi - \frac{\alpha + \beta + \gamma}{2}</math> </blockquote><blockquote><math>\frac{x - y}{2} = \arctan[\tan\frac{x+y}{2}\cdot \tan( \pi/4-\theta)];\qquad \theta = \arctan\frac{AB \sen \beta}{BC \sen \alpha}</math></blockquote><blockquote><math>x = \frac{x+y}{2}+\frac{x-y}{2}; \qquad y = \frac{x+y}{2}-\frac{x-y}{2}</math></blockquote><blockquote><math>\gamma_1=\pi-(x-\alpha); \qquad \gamma_2=\gamma-\gamma_1</math></blockquote><blockquote><math>AP=\frac{AB \sen \gamma_1}{\sen \alpha}; \qquad CP=\frac{BC \sen \gamma_2}{\sen \beta};\qquad BP= \frac{AB \sen x}{\sen \alpha}= \frac{BC \sen y}{\sen \beta}</math></blockquote><blockquote><math>(AB) = (BA) -\pi; \qquad (AP) = (AB)+x</math></blockquote><blockquote><math>(x_P)_A = AP \sen (AP); \qquad (y_P)_A = AP \cos (AP)</math>;</blockquote><blockquote><math>X_P = X_A + (x_P)_A; \qquad Y_P = Y_A + (y_P)_A;</math></blockquote><blockquote>Per verifica le coordinate di P possono essere calcolate in modo analogo anche rispetto a B e C.</blockquote><blockquote>'''Metodo di [[Jacques Cassini|Cassini]]'''</blockquote>
* METODO DI HANSEN O DELLA DOPPIA INTERSEZIONE INVERSA
Consente di determinare le coordinate planimetriche di un punto di stazione M ed una stazione ausiliaria N dai quali sono visibili due punti di coordinate note A e B.
[[File:MetodiHansen.png|miniatura]]
<blockquote>Elementi noti: <math>[X_A; Y_A]\qquad [X_B; Y_B]\qquad [\alpha] \quad[\alpha_1]\qquad [\beta]\quad[\beta_1]</math> </blockquote><blockquote><math>\frac{x + y}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{\alpha - \alpha_1}{2}</math></blockquote><blockquote><math>\frac{x - y}{2} = \arctan[\tan\frac{x+y}{2}\cdot \tan( \pi/4-\theta)];\qquad \theta = \arctan\frac{\sen \beta \cdot \sen (\alpha_1+\beta_1)}{\sen \beta_1 \cdot \sen (\alpha+ \beta)}</math></blockquote><blockquote><math>x = \frac{x+y}{2}+\frac{x-y}{2}; \qquad y = \frac{x+y}{2}-\frac{x-y}{2}</math> </blockquote><blockquote>Gli altri elementi finalizzati al calcolo delle coordinate di M e N si risolvono in maniera analoga agli altri metodi di intersezione.</blockquote>
* Metodo della base fittizia
<blockquote>Si fissa una base fittizia p.e. MN = 100 m, e si calcolano così gli angoli x e y. A questo punto si calcola la distanza reale AB e impostando il [[Similitudine (geometria)|criterio di similitudine]] fra i triangoli ABM (incognito) e A'B'M' (quello calcolato con la base fittizia), si addiviene al valore della distanza reale AM. In modo analogo si considera il triangolo ABN per determinare AN. Infine vengono determinate le coordinate di M e N. Queste ultime possono essere calcolate anche come media delle coordinate relative ad A e B.</blockquote>
<u>Superfici di uguale valore unitario</u>
* [[File:Divvert.png|miniatura]]''Superficie triangolare con dividenti uscenti da un vertice''
Sia da dividere un appezzamento triangolare ABC in 3 parti, uguali o proporzionali ai numeri m1, m2 e m3. Dopo aver determinato l'area totale e le aree S1, S2 e S3, dalla formula dell'area <math>S_1=\frac{1}{2}AB\cdot AD\cdot \sen\alpha</math> si ricava <math>AD=\frac{2S_1}{AB \cdot \sen \alpha}</math>, e con riferimento al triangolo ABE da <math>S_1+S_2=\frac{1}{2}AB\cdot AE\cdot \sen\alpha</math> si ricava <math>AE=\frac{2(S_1+S_2)}{AB \cdot \sen \alpha}</math>
 
<nowiki>Le due distanze AD e AE possono anche essere calcolate osservando che i triangoli hanno la medesima altezza, pertanto le aree sono proporzionali alle basi e valgono le seguenti relazioni: [AD : S1 = AC : S] e [AE : (S1 + S2) = AC : S, dalle quali si ricavano: AD = (S1/S)*AC, e AE = [(S1+S2)/S]*AC.</nowiki>
<math>V=\frac{h}{2}\cdot (S_1+S_2)</math> che viene detta ''formula delle sezioni ragguagliate'' maggiormente usata nella progettazione stradale per il calcolo del volume dei solidi fra due sezioni consecutive.
 
Il volume del [[prisma]] retto con le basi oblique, viene calcolato considerando che l'altezza da considerare è la distanza fra i baricentri delle facce. In un triangolo obliquo rispetto al piano di riferimento l'altezza del baricentro è la media delle altezze dei vertici; in tal caso la formula del volume estendibile anche a un prisma che ha come base un [[parallelogramma]], è la seguente
[[File:PROBLIQUE.png|miniatura|204x204px|Prisma retto con basi oblique]]
 
<math>V = S_m\cdot\frac{h_1+h_2+h_3}{3}</math> con <math>S_m</math> Area della sezione normale
 
maggiormente usata per il calcolo del volume dei solidi individuati da un piano quotato a maglia triangolare nelle operazioni di spianamento.
 
====== Spianamento con piano orizzontale di compenso ======
Si fissa una quota di progetto fittizia <math>q^*</math> corrispondente a una quota più bassa della quota più bassa del terreno, pertanto se ne calcolano le quote rosse fittizie e i relativi volumi:
 
<math>r^*_A= q^*-q_A</math> valida per tutti i vertici;
[[File:SPIANASS.png|miniatura|Spianamento con piano orizzontale di compenso|203x203px]]
<math>V^*_1= V^*(ABD)= S_1\cdot\frac{r^*_A+r^*_B+r^*_D}{3}</math> valida per tutte le superfici, e calcolo del volume totale fittizio <math>V^*=V^*(ABD)+V^*(BCD)</math>
 
determinazione dell'altezza fittizia: <math>h^*=\frac{V^*}{S(ABD)+S(BCD)}</math>
 
determinazione della quota di progetto, o di compenso: <math>q_P=q^*+h^*</math> e delle reali quote rosse:
 
.<math>r_A=q_p+q_A</math>
Calcolo dei volumi di sterro e riporto ripetendo l'operazione effettuata con le quote rosse fittizie, tenendo presente che i prismi da assumere per il calcolo sono ora quelli individuati dai triangoli AEF, EFD, EBD e BCD.
 
== Progettazione stradale<ref name=":0" /> ==
 
====== Sviluppo del progetto ======
 
====== Movimenti di terra ======
Oltre alla ''formula delle sezioni ragguagliate'', per i tratti in curva, il solido stradale viene calcolato dal ''[[Teoremi di Pappo-Guldino|2° Teorema di Guldino]]'', con la formula che segue: <math>V=A\cdot d\cdot \Biggl(1\pm \frac{a}{r}\Biggr)</math> dove A è l'area della sezione, d lo sviluppo dell'arco descritto dal baricentro della sezione, a la distanza del baricentro all'asse della sezione, R il raggio della curva.[[File:VOLUMI.jpg|miniatura|162x162px|Diagramma dei volumi]]
* '''Diagramma dei volumi o profilo delle aree''' - Dalle sezioni trasversali relative a un determinato tronco si ottiene, calcolando il volume tra due sezioni successive con la ''formula delle sezioni ragguagliate'', o per i tratti in curva la formula dal 2° Teorema di Guldino, il diagramma dei volumi, in quanto l'area compresa fra la spezzata e la fondamentale esprime il volume di scavo. Sull'orizzontale vanno riportate le distanze fra le sezioni e sulle ordinate le aree delle sezioni trasversali, collegando le ordinate rappresentanti le sezioni di una stessa parzializzazione. Tale grafico viene detto anche profilo delle aree poiché la spezzata si ottiene unendo le estremità delle ordinate che rappresentano le aree delle sezioni. L'andamento lineare del grafico è dovuto all'uso della formula delle sezioni ragguagliate. Le aree di scavo vanno moltiplicate per una percentuale di rigonfiamento prima di essere considerate nell'eseguire il diagramma.
[[File:Volpal.jpg|miniatura|163x163px|Diagramma dei volumi con paleggio]]
* '''Diagramma dei volumi eccedenti o di [[Eduard Brückner|Brückner]]'''
 
* '''Distanza media di trasporto e momento di trasporto''' Dal ''Diagramma di Brückner'' si ricava l'ordinata finale della spezzata integrale che, letta nella scala delle distanze, fornisce la distanza media di trasporto in orizzontale Dm. Nel caso di percorso in salita Dm si moltiplica per (1+n*p), in cui n va da 10 a 20 per trasporto con ruspa, e da 25 a 40 per trasporto con autocarro e p è la pendenza del percorso. Sempre dal ''Diagramma di Brückner'' si ricava l'ordinata massima del cantiere Ymax = V, ossia il volume che, moltiplicato per la distanza media Dm fornisce il momento di trasporto <math>M=D_m\cdot V</math>, uguale all'area compresa fra la curva e la fondamentale, e sommatoria dei volumi elementari per le distanze alle quali devono essere trasportati.
* '''Costo dei trasporti''' <math>C=k\cdot\gamma\cdot M</math> in cui k = costo unitario; <math>\gamma</math> = peso volumico terra
* '''Fondamentale di minima spesa'''
* '''Zona di occupazione - Espropriazioni'''
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