Stima asintotica: differenze tra le versioni
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Non tutti gli infiniti sono però identici tra loro: esiste infatti un ordine all'interno degli infiniti, che dipende dal tipo di andamento della [[Funzione (matematica)|funzione]] a infinito. Ecco alcuni tipi di infinito posti in ordine crescente: <math> a </math>, <math> b </math> e <math> c </math> sono numeri qualunque maggiori di 1, mentre <math> n </math> è l'indice della successione.
<math> \log_a{n} \le n^b \le c^n \le n! \le n^n </math
'''Nota''': il segno di <math> \,\le\, </math> va inteso nel senso dell'[[#O piccolo|o piccolo]].
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===Altri esempi===
Ecco alcuni esempi di ordini di infinito riferiti a funzioni, dove <math> \mathop{\mathrm{Ord}}_z </math> indica l'ordine per la variabile tendente a <math> z </math>'':
<math> \mathrm{Ord}_{+\infty} \, x^a \le \mathrm{Ord}_{+\infty} \, e^x </math>
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Una successione <math> \{a_n\}</math> si dice ''infinitesima'' quando il suo [[Limite (matematica)|limite]] è uguale a zero al tendere di <math>n</math> all'infinito:
<math> \lim_{n \to \infty} a_n = 0 </math>.
Come per gli infiniti esistono successioni che tendono a zero più velocemente di altre; prendendo i [[elemento inverso|reciproci]] della sequenza di diseguaglianze sopra e cambiando i <math> \le </math> in <math> \ge </math> si ha la tabella corrispondente
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==Successioni asintotiche ==
Date due successioni <math> a_n </math> e <math> b_n </math>, esse si dicono ''asintotiche'' o ''asintoticamente equivalenti'' e lo si indica con la notazione <math> a_n \sim b_n </math> se
▲Date due successioni <math> a_n </math> e <math> b_n </math>, esse si dicono ''asintotiche'' o ''asintoticamente equivalenti'' e lo si indica con la notazione <math> a_n \sim b_n </math> se <br/>
<math> \lim_{n \to \infty} \frac{a_n} {b_n} = 1 </math><br />
(Ovviamente si deve supporre che esista un <math> N</math> tale che <math> b_n \not=0, \ \ \forall n \ge N </math>).
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==Regole operative==
===Confronti fra infiniti e infinitesimi ===
Siano <math> a_n </math> e <math> b_n </math> due successioni infinite. Per il [[Limite (matematica)|limite]] del rapporto abbiamo che se <math> \lim_{n\to +\infty} \frac{a_n} {b_n} </math> è uguale a:
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Siano <math> a_n </math>, <math> b_n </math> due successioni infinitesime. Nel calcolo del [[Limite (matematica)|limite]] del rapporto si possono aggiungere o togliere, in una somma di infinitesimi, al numeratore e al denominatore degli infinitesimi che siano di ordine superiore, in base a quanto visto nel paragrafo precedente.
Si ottiene così la seguente equazione utile per la risoluzione di problemi di limiti indeterminati:
<math> \lim_{n \to \infty} \frac{a_n} {b_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{a_n + a'_n} {b_n + b'_n} </math>
Ad esempio:
<math> \lim_{n \to \infty} \frac{n^{-2} + n ^ {-\frac{1}{2}} } {5n^{-3} - 4n^{-1} } = \lim_{ n \to \infty} \frac{ n ^ {-\frac{1}{2}} } { -4n ^ { -1 } } = - \infty </math>
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|}
Per distinguere questi quattro casi bisogna che anche il simbolo <math> \mathrm{X}(\cdot) </math> che definisce la relazione fra <math> f(n) </math> e <math> g(n) </math> possa assumere quattro valori diversi, definiti in qualche modo da due parametri: uno che definisce il quantificatore e l'altro che definisce la relazione d'ordine.
Tali simboli sono i seguenti:
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{{vedi anche|O-grande}}
Siano <math> f </math> e <math> g </math> due funzioni definite su <math>\N</math> a valori in <math>\R</math>.
Si dice che <math> f(n) </math> è un '''o grande''' di <math> g(n) </math>, in simboli
<math> f(n) = \mathrm{O}(g(n)) </math>
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===O piccolo===
Si dice che <math> f(n) </math> è un '''o-piccolo''' di <math> g(n) </math>, in simboli
<math> f(n) = \mathrm{o}(g(n)) </math>
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se <math> \lim_{n \to \infty} \frac{f(n)} {g(n)} = 0 </math>
=== Omega grande ===
Si dice che <math> f(n) </math> è un '''omega grande''' di <math> g(n) </math>, in simboli
<math> f(n) = \Omega(g(n)) </math>
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===Omega piccolo ===
Si dice che <math> f(n) </math> è un '''omega piccolo''' di <math> g(n) </math>, in simboli
<math> f(n) = \omega(g(n)) </math>
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se <math> \lim_{n \to \infty} \frac{f(n)}{g(n)} = \infty </math>
=== Theta ===
<math> f(n) </math> e <math> g(n) </math> sono dette avere lo stesso ordine di grandezza, in simboli
<math> f(n) = \Theta(g(n)) </math>
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Usando i limiti superiore e inferiore, questa condizione si può enunciare come <math> 0 < \liminf_{n \to \infty} \left| \frac{f(n)} {g(n)} \right| \leq \limsup_{n \to \infty} \left| \frac{f(n)} {g(n)} \right| < \infty </math>
-->
=== Proprietà delle espressioni asintotiche ===
Per le espressioni asintotiche valgono le seguenti proprietà:
===== Proprietà di base =====
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# <math> \mathrm{o}(f) \mathrm{o}(g) = \mathrm{o}(f g) </math>.
Oltre a queste, all'interno di ognuna delle notazioni vale la [[proprietà transitiva]], cioè, ad esempio, se <math> f = \mathrm{O}(g) </math> e <math> g = \mathrm{O}(h) </math> allora <math> f = \mathrm{O}(h) </math>.
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== Voci correlate ==
* [[Limite di una successione]]
* [[Limite di una funzione]]
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