Teoria ingenua degli insiemi: differenze tra le versioni

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==Introduzione==
 
La teoria ingenua degli insiemi venne creata alla fine del [[XIX secolo]] da [[Georg Cantor]] per permettere ai matematici di lavorare in modo consistente con gli [[insieme infinito|insiemi infiniti]].
 
 
== Insiemi, appartenenza e uguaglianza ==
 
Nella teoria ingenua degli insiemi, un '''insieme''' è descritto come una collezione ben definita di oggetti. Questi oggetti sono chiamati '''elementi''' o '''membri''' dell'insieme. Gli oggetti possono essere qualsiasi cosa: numeri, persone, altri insiemi, etc. Ad esempio, 4 è un elemento dell'insieme dei [[numero intero|numeri interi]] pari.
Come si vede da questo esempio, gli insiemi possono avere un numero infinito di elementi.
 
== Specificazione degli insiemi ==
 
Il modo più semplice per descrivere un insieme è elencare i suoi elementi fra parentesi graffe.
Quindi {1,2} indica l'insieme i cui elementi sono 1 e 2.
 
== Sottoinsiemi ==
 
Dati due insiemi ''A'' e ''B'' diciamo che ''A'' è un '''[[sottoinsieme]]''' di ''B'' se ogni elemento di ''A'' è anche un elemento di ''B''.
Osserva che in particolare ''B'' è un sottoinsieme di sé stesso; un sottoinsieme di ''B'' che non è uguale a ''B'' è detto '''sottoinsieme proprio'''.
 
== Insieme universo e complementi assoluti ==
 
In determinati contesti possiamo trattare gli insiemi in considerazione come sottoinsiemi di un determinato [[insieme universo]].
Ad esempio, se stiamo esaminando le proprietà dei [[numero reale|numeri reali]] '''R''' (e dei sottoinsiemi di '''R'''), possiamo prendere '''R''' come insieme universo. È importante capire che un insieme universo è definito solo temporaneamente dal contesto; non esiste qualcosa di simile all'insieme universo "universale", "l'insieme di tutto" (vedi [[Teoria ingenua degli insiemi#Paradossi|più sotto]] la sezione "paradossi").
 
== Unioni, intersezioni, e complementi relativi ==
 
Dati due insiemi ''A'' e ''B'', possiamo costruire la loro '''[[unione (insiemistica)|unione]]'''.
Questa è l'insieme di tutti gli oggetti che sono elementi di ''A'' o di ''B'' o di entrambi (vedi [[assioma dell'unione]]). È indicata da ''A'' ∪ ''B''.
 
==Alcuni insiemi importanti ==
 
<small>Nota: In questa sezione, ''a'', ''b'', e ''c'' sono [[numero naturale|numeri naturali]], e r e s sono [[numero reale|numeri reali]].</small>
# I [[numero naturale|numeri naturali]] sono usati per contare. Per indicare questo insieme si usa spesso una '''N''' maiuscola in [[grassetto da lavagna]] (<math>\mathbb{N}</math>).
 
== Paradossi ==
 
Abbiamo fatto riferimento precedentemente alla necessità di un approccio assiomatico e formale.
Quale problema sorge nella trattazione che abbiamo dato?
Quindi entrambe le opzioni ci portano a una contraddizione e abbiamo una teoria inconsistente.
Gli sviluppi assiomatici pongono restrizioni al tipo di insiemi che è permesso costruire e quindi previene l'insorgere di problemi come il nostro insieme ''Z'' (questo particolare paradosso è il [[paradosso di Russell]]).
 
 
Lo svantaggio è uno sviluppo molto più difficile.
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