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Raggio terrestre: differenze tra le versioni

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Il '''[[Raggio (geometria)|raggio]] della [[Terra]]''' è la distanza del centro della Terra dalla sua superficie al [[Livello del mare|livello medio del mare]]. La Terra non è una [[sfera]] perfetta ma piuttosto un [[ellissoide|ellissoide di rotazione]] appiattito in corrispondenza del [[Polo Nord]] e [[Polo Sud|Sud]], perciò chiamato anche [[sferoide oblato]] o [[geoide]]. La forma non perfettamente sferica della Terra comporta che il suo raggio vari a seconda di dove avviene la misurazione.
 
== Raggio equatoriale ==
Il raggio [[equatore|equatoriale]] (ovvero il raggio della circonferenza immaginaria quale l'equatore) della Terra è approssimativamente pari a 6378,388 [[chilometro|chilometri]].
 
== Raggio polare ==
Il raggio polare della Terra (distanza del centro della Terra da uno dei due Poli) è approssimativamente pari a 6356,988 chilometri.
 
== Raggio quadratico medio ==
:
:Il ''raggio quadratico medio'' (<math>Q_r</math>) di un [[ellissoide]] è un metodo più accurato per esprimere il raggio della Terra.
:<math>Q_r = \sqrt{\frac{3a^2 + b^2}{4}}</math>
 
dove ''a'' è il raggio equatoriale e ''b'' il raggio polare.
 
Per la Terra:
:6373,044737 chilometri.
 
== Raggio medio ==
Il raggio medio è approssimativamente pari a 6371,005076123 kilometri. Questo numero è derivato mediando le distanze centro-superficie di tutti i punti del globo. In modo equivalente il raggio medio è
 
:<math>R_2 = \sqrt{\frac{a^2+\frac{ab^2}{\sqrt{a^2-b^2}}\ln{(\frac{a+\sqrt{a^2-b^2}}b)}}{2}}= \sqrt{\frac{A}{4\pi}}</math>
 
dove ''A'' è l'[[area]] della [[superficie]] [[Terra#Geografia|terrestre]]. Questo sarebbe il raggio di una ipotetica sfera perfetta che avesse la stessa area della superficie della Terra.
 
== Calcolo del raggio terrestre ==
=== Il metodo di Eratostene ===
Il matematico, geografo ed astronomo [[Eratostene]] ([[III secolo a.C.]]), era direttore della grande biblioteca di [[Alessandria d'Egitto]] quando formulò il metodo per calcolare le dimensioni della [[Terra]] nel 240 a.C. - 230 a.C.
 
Dai suoi studi, era venuto a conoscenza del fatto che a Syene (l'attuale [[Assuan]]), a mezzogiorno del [[solstizio]] d'estate, il [[Sole]] si trovava proprio sullo [[zenit]], tanto che il fondo di un pozzo profondo ne veniva illuminato, perciò un bastone piantato verticalmente in un terreno perfettamente pianeggiante non avrebbe proiettato alcuna ombra in terra.
 
Invece ad Alessandria questo non succedeva mai, gli obelischi proiettavano comunque la loro ombra sul terreno.
 
Ciò era già una dimostrazione pratica della rotondità della Terra (come ampiamente dimostrato da [[Aristotele]]). L'idea che la Terra dovesse avere una forma sferica era comunque già accettata. Questa convinzione scaturiva dall'osservazione delle [[eclissi]] di Luna durante le quali la forma dell'ombra terrestre appariva sempre come un arco di circonferenza.
 
Eratostene perciò, per procedere con i suoi calcoli, ipotizzò la Terra perfettamente sferica ed il Sole sufficientemente distante da considerare paralleli i raggi che la investono. Inoltre assunse che Alessandria e Syene si trovassero sullo stesso [[meridiano (geografia)|meridiano]].
 
Durante il solstizio d'estate calcolò l'angolo di elevazione del Sole ad Alessandria, misurando l'ombra proiettata proprio da un bastone piantato in terra, ricavando approssimativamente un valore di 1/50 di [[circonferenza]] (cioè 7° 12').
 
La distanza tra le due città, basata sui trasferimenti delle carovane, era stimata in 5.000 ''stadia'' (circa 800&nbsp;km, tuttavia il valore preciso dello ''stadium'', usato a quell'epoca ad Alessandria, non è attualmente conosciuto).
 
Perciò la circonferenza della Terra doveva essere di 50 * 5.000 = 250.000 ''stadia'' (circa 40.000&nbsp;km, valore straordinariamente vicino a quello ottenuto con metodi moderni: 40.075&nbsp;km).<br />
Una volta stabilito un valore per essa, il raggio terrestre si ricavava dalla nota relazione che lega la circonferenza ed il suo raggio.
 
[[Immagine:Eratostene--Calcolo Raggio Terrestre.jpg|thumb|upright=1.8|La figura mostra il procedimento seguito da Eratostene per calcolare la dimensione del raggio della Terra.]]
 
In termini matematici, facendo riferimento alla figura, abbiamo:
 
:<math>\tan \alpha = \frac{l}{h} \quad \to \quad \alpha = \arctan{\frac{l}{h}}</math>
 
dove
 
*''h'': lunghezza del palo
*''l'': lunghezza dell'ombra proiettata dal palo sul terreno
*<math>\alpha</math> : angolo di elevazione del Sole
 
Poiché
 
:<math>\frac{D}{2\pi R} = \frac{\alpha}{360^o}</math>
 
dove
 
*''D'': distanza tra Alessandria (punto A) e Syene (punto S), aventi per ipotesi lo stesso meridiano
*''R'': raggio della Terra, per ipotesi una sfera perfetta
 
si ottiene
 
:<math>R = \frac{D}{2\pi} \frac{360^o}{\arctan{\frac{l}{h}}}</math>
 
I valori ricavati da Eratostene furono: circa 12629&nbsp;km per il diametro terrestre ovvero un raggio pari a 6314,5&nbsp;km (incredibilmente prossimo alla stima media condotta con mezzi attuali)
 
Il metodo elaborato da Eratostene si basa su alcune assunzioni (alcune già enunciate), senza le quali sarebbe necessario introdurre delle correzioni alla procedura di calcolo affinché sia ancora valido:
* la Terra è perfettamente sferica
* il Sole è tanto distante da considerare paralleli i raggi su Alessandria e su Syene
* le due città si trovano sullo stesso meridiano (in realtà esse differiscono in longitudine di 3°)
* Syene è situata esattamente sul [[Tropico del Cancro]] (mentre effettivamente è a 55&nbsp;km a Nord di esso)
* la differenza angolare misurata ad Alessandria è di 7° 12' (essa è in realtà di 7° 5')
 
=== Cronologia delle misurazioni del raggio terrestre ===
 
<!-- dai calcoli di Ertostene risulta 6,314.5 e non 6.108. Sei sicuro delle fonti??? -->
{| class="wikitable"
!width="100"|Geodesista
!width="100"|Luogo
!width="100"|Anno
!width="100"|Raggio (metri)<br />(equatoriale - polare)
!width="100"|Schiacciamento
|-
|[[Eratostene]] || Egitto|| [[230 a.C.]] || 6 314 500 ||
|-
|[[Posidonio]] || Egitto e Rodi || [[100 a.C.]] || 7 064 055 ||
|-
|[[Abelseda]] || Arabia || [[827]] || 7 122 910 ||
|-
|[[Al-Biruni]] || Persia || [[995]] || 6 339 600
||
|-
|[[Albazen]] || Arabia || [[1100]] || 6 074 308 ||
|-
|[[Fernal]] || Francia || [[1528]] || 6 448 480 ||
|-
|[[Willebrord Snell|Snell]] || Olanda || [[1617]] || 6 099 082 ||
|-
|[[Richard Norwood|Norwood]] || Inghilterra || [[1635]] || 6 412 592 ||
|-
|[[Ricolli]] e [[Firmaldi]] || Lombardia || [[1658]] || 6 865 301 ||
|-
|[[Jean Picard|Picard]] || Francia || [[1669]]-[[1672]] || 6 369 140 ||
|-
|[[Jacques Cassini|Cassini]] || Francia || [[1681]]-[[1718]] || 6 411 948 ||
|-
|[[George Everest|Everest]] || || [[1830]] || 6&nbsp;377&nbsp;276&nbsp;-&nbsp;6&nbsp;356&nbsp;075&nbsp; || 1/300,8
|-
|[[Friedrich Bessel|Bessel]] || || [[1841]] || 6 377 397 - 6 356 079 || 1/299,15
|-
|[[Alexander Ross Clarke|Clarke]] || || [[1866]] || 6 378 206 - 6 356 584 || 1/294,98
|-
|[[Alexander Ross Clarke|Clarke]] || || [[1880]] || 6 378 301 - 6 356 584 || 1/293,47
|-
|[[John Fillmore Hayford|Hayford]] || || [[1909]] || 6 378 388 - 6 356 912 || 1/297
|-
|[[Irene K. Fischer|Fischer]] || || [[1960]] || 6 378 160 - 6 356 778 || 1/298,3
|}
<br />
dove lo schiacciamento è così definito:
 
:<math>\mbox{Schiacciamento} = \frac{\mbox{Raggio equatoriale - Raggio polare}}{\mbox{Raggio equatoriale}}</math>
 
Per fare un confronto, pianeti come [[Giove (astronomia)|Giove]] e [[Saturno (astronomia)|Saturno]], la cui velocità di rotazione è maggiore di quella della [[Terra]], hanno uno schiacciamento di 1/15 e 1/10 rispettivamente.
 
==Bibliografia==
*I dati da ''Eratostene'' a ''Cassini'' sono stati tratti da un articolo di David Manthey reperibile qui: http://www.orbitals.com/books/tps/research.html
*Quelli da ''Everest'' a ''Fischer'' invece dal seguente libro: Franklyn M. Branley, ''The Earth: Planet Number Three'', 1966, T. Y. Crowell Company.
 
[[Categoria:Terra]]
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