Classe C di una funzione: differenze tra le versioni
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Per la convenzione secondo cui l'unica derivata parziale di <math>f</math> di ordine <math>0</math> è <math>f</math> stessa, segue direttamente dalla definizione che <math>f \in C^0(A, \R^n)</math> se e solo se <math>f</math> è [[funzione continua|continua]]. Chiaramente, per ogni <math>k \in \mathbb N</math> risulta <math>C^{k+1}(A, \mathbb R^n) \subseteq C^k(A, \mathbb R^n)</math>.
Una funzione <math>f:A \rightarrow \R^n</math> si dice poi '''di classe <math>C^\infty</math>'''(o '''liscia''') se in ogni punto di <math>A</math> esistono tutte le [[derivata parziale|derivate parziali]] di <math>f</math> di qualsiasi ordine, e tali derivate parziali sono funzioni [[funzione continua|continue]]; in altre parole, <math>f</math> è liscia se e solo se <math>f \in C^k(A, \mathbb R^n)</math> per ogni <math>k \in \mathbb N</math>. L'insieme delle funzioni di classe <math>C^\infty</math> da <math>A</math> in <math>\mathbb R^n</math> si indica generalmente come <math>C^\infty(A, \mathbb R^n)</math>. Evidentemente si ha <math>C^\infty(A, \R^n) = \bigcap_{k \in \N} C^k(A, \R^n)</math>.
La definizione si può anche estendere a sottoinsiemi del dominio.
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