Classe C di una funzione: differenze tra le versioni

Sia <math>A</math> un sottoinsieme [[Insieme aperto|aperto]] di <math>\mathbb R^m</math> e <math>k \in \mathbb N</math>. Una [[funzione di variabile reale]] <math>f:A \rightarrow \R^n</math>si dice '''di classe <math>C^k</math>''' se in ogni punto di <math>A</math> esistono tutte le [[derivata parziale|derivate parziali]] di <math>f</math> fino al <math>k</math>-esimo ordine, e tali derivate parziali sono funzioni [[funzione continua|continue]]. L'insieme delle funzioni di classe <math>C^k</math> da <math>A</math> in <math>\mathbb R^n</math> si indica generalmente comecon <math>C^k(A, \mathbb R^n)</math>; inoltre, è consuetudine porre anche <math>C^k(A) := C^k(A, \mathbb R)</math>. Se <math>k > 0</math>, si ha perciò che <math>f \in C^k(A, \mathbb R^n)</math> se e solo se

Una funzione <math>f:A \rightarrow \R^n</math> si dice poi '''di classe <math>C^\infty</math>'''(o '''liscia''') se in ogni punto di <math>A</math> esistono tutte le derivate parziali di <math>f</math> di qualsiasi ordine, e tali derivate parziali sono funzioni continue; in altre parole, <math>f</math> è liscia se e solo se <math>f \in C^k(A, \mathbb R^n)</math> per ogni <math>k \in \mathbb N</math>. L'insieme delle funzioni di classe <math>C^\infty</math>lisce da <math>A</math> in <math>\mathbb R^n</math> si indica generalmente comecon <math>C^\infty(A, \mathbb R^n)</math>. Evidentemente si ha <math>C^\infty(A, \R^n) = \bigcap_{k \in \N} C^k(A, \R^n)</math>.

Una funzione liscia <math>f \in C^\infty(A, \mathbb R^n)</math> si dice '''di classe <math>C^\omega</math>''' (o '''analitica''') se per ogni <math>x_0 \in A</math> esiste un [[intorno]] <math>U(x_0)\subseteq A</math> di <math>x_0</math> in <math>A</math> tale che <math>f(x) = T_{f,x_0}(x)</math> per ogni <math>x \in U(x_0)</math>, ove <math>T_{f, x_0}</math> denota lo [[Serie di Taylor|sviluppo di Taylor]] di <math>f</math> centrato in <math>x_0</math>. L'insieme delle funzioni analitiche da <math>A</math> in <math>\mathbb R^n</math> si indica con <math>C^\omega(A, \mathbb R^n)</math>.