Differenze tra le versioni di "Distribuzione Gamma"

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In [[teoria delle probabilità]] la '''distribuzione [[Gamma (lettera)|Gamma]]''' è una [[distribuzione di probabilità]] [[distribuzione continua|continua]], che comprende, come casi particolari, anche le distribuzioni [[distribuzione esponenziale|esponenziale]] e [[distribuzione chi quadrato|chi quadrato]].
 
Viene utilizzata come modello generale dei tempi di attesa nella [[teoria delle code]], soprattutto qualora siano importanti effetti che rimuovano "l'assenza di memoria" della distribuzione esponenziale. Nella [[statistica bayesiana]] è comune sia come distribuzione ''a priori'' che come distribuzione ''a posteriori''.
 
== Definizione ==
<math>\mathbb{M}_X(t)=\mathbb{E}[e^{tX}]=\frac{1}{\theta^k\Gamma(k)}\int_0^\infty x^{k-1}e^{-x\left(\frac{1}{\theta}-t\right)}dx=\frac{1}{\theta^k\Gamma(k)(\tfrac{1}{\theta}-t)^k}\int_0^\infty u^{k-1}e^{-u}du</math>
 
<math>\mathbb{M}_X(t)=(1-\theta t)^{-k}</math> che esiste per ogni valore di t tale che <math>1-\theta t > 0 \Rightarrow t < \theta^{-1}</math>
 
=== Proprietà ===
 
<math>\mathbb{E}[\psi_0(\hat{k})]=
\mathbb{E}\left[\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \ln\left(\frac{x_i}{\theta}\right)\right]=
\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \mathbb{E}\left[\ln\left(\frac{x_i}{\theta}\right)\right]=
\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \int_0 ^{\infty} \ln\left(\frac{x_i}{\theta}\right) \frac{x_i ^ {k-1} }{\theta^k \Gamma(k)} e^{-\frac{x_i}{\theta}} dx_i</math>
 
dove abbiamo usato la linearità del valore atteso e scritto la sua definizione su variabile aleatoria continua.
 
<math>\mathbb{E}[\psi_0(\hat{k})]= \frac{1}{n \theta^k \Gamma(k)} \sum_{i=1}^n \int_0 ^{\infty} \ln\left(\frac{x_i}{\theta}\right) x_i ^ {k-1} e^{-\frac{x_i}{\theta}} dx_i = \frac{1}{\theta^k \Gamma(k)} \int_0 ^{\infty} \ln\left(\frac{t}{\theta}\right) t ^ {k-1} e^{-\frac{t}{\theta}} dt </math>
 
Ovviamente tutti gli integrali nella i-esima variabile sono uguali tra di loro, quindi la loro somma dà n volte il singolo integrale nella generica variabile di integrazione t.
 
<math>\mathbb{E}[\psi_0(\hat{k})]=
\frac{1}{\theta^k \Gamma(k)} \int_0 ^{\infty} \ln\left(\frac{t}{\theta}\right) t ^ {k-1} e^{-\frac{t}{\theta}} dt
= \frac{\theta^{k-1}}{\theta^{k-1} \Gamma(k)} \int_0 ^{\infty} \ln(u) u ^ {k-1} e^{-u} du
= \frac{1}{\Gamma(k)} \int_0 ^{\infty} u ^ {k-1} \ln(u) e^{-u} du
 
</math>
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