Teorema di esistenza e unicità per un problema di Cauchy: differenze tra le versioni
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Si nota innanzitutto che <math>F</math> è ben definito, ossia che <math>\forall y \in B</math> si ha <math>F(y) \in B</math>. Infatti:
:<math>|\widehat{y} - y_0| = \left|\int_{x_0}^xf(t,y(t)) \right| \mathrm{d}t
<math>\forall x \in I_\delta</math>.Ma per ipotesi <math>|f(t,y(t))|\leq M</math>, da cui si deduce che:
:<math>|\widehat{y}-y_0|\leq
Una volta assicurata la buona definizione di <math>F</math> è sufficiente dimostrare che questa è una [[contrazione (spazio metrico)|contrazione]] su <math>B</math> per completare il teorema. Il [[teorema delle contrazioni]] infatti ci assicura l'esistenza di un unico [[punto fisso]] (o punto unito) di <math>F</math> in <math>B</math>, quindi nel nostro caso di una funzione <math>y = y(x)</math> tale che <math>F(y) = y</math>, cioè
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definita sull'intervallo <math>I_\delta</math>, e risolvente dunque il [[sistema]] <math>\Theta</math>. Tenendo conto delle [[ipotesi]] su <math>f</math> (in particolare la [[Funzione lipschitziana|lipschitzianità]]) si può scrivere:
:<math>\begin{align}|F(y_1)-F(y_2)| &= \left|\int_{x_0}^x[f(t,y_1(t))-f(t,y_2(t))\mathrm{d}t]\right|\le
& \le
e prendendo il "sup" tra le <math>x \in {I_\delta}</math> si ottiene:
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