Teorema di Weierstrass: differenze tra le versioni
Contenuto cancellato Contenuto aggiunto
→Il teorema: titolo cambiato con uno più preciso |
Aggiunta sezione "Necessità ipotesi" |
||
Riga 18:
Similmente si dimostra anche l'esistenza di un punto <math>x_1</math> dove la funzione assume il suo valore minimo assoluto.
== Necessità delle ipotesi ==
Chiaramente il fatto che una funzione non soddisfi le ipotesi del teorema di Weierstrass, non implica che non esistano massimo o minimo della funzione; semplicemente, rinunciando alle condizioni di Weierstrass, la loro esistenza non è garantita.
Inoltre, come si vedrà nei controesempi, queste sono le ipotesi più larghe possibili per cui vale l'enunciato stesso. Il teorema non vale se cade anche solo una delle tre ipotesi.
[[File:abs non continuo.svg|thumb|310x310px|right|Controesempio nº1. La funzione <math>y = |x|</math> nell'intervallo <math>[-1,1]</math> ridefinita in <math>x=0</math> non è continua. Il teorema di Weierstrass non è quindi valido.]]
* <math>f</math> non continua: Si consideri <math>f:[-1,1]\to\mathbb{R}</math> tale che <math>f(x)=|x|</math> per <math>x\not=0</math>e<math>f(0)=2</math>, che non è continua in <math>x=0</math>. Il teorema non è applicabile, infatti non ha un minimo ma solo un estremo inferiore uguale a <math>0</math>.
* L'intervallo non è chiuso: Si consideri <math>f:[0,1)\to\mathbb{R}, x\mapsto x</math>. Essa è continua nell'intervallo limitato <math>[0,1)</math>, che però non è chiuso. Il teorema non è applicabile, infatti non ha un massimo ma solo un estremo superiore uguale a <math>1</math>.
* L'intervallo non è limitato: Si consideri <math>f:[0,+\infty)\to\mathbb{R}, x\mapsto arctan(x)</math>. Essa è continua <math>[0,+\infty)</math>, tuttavia l'intervallo è illimitato. Il teorema non è applicabile, infatti non ha un massimo ma solo un estremo superiore uguale a <math>\pi/4</math>.
==Spazi topologici==
| |||