Differenze tra le versioni di "Operatore impulso"

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:<math> T(\varepsilon) | \psi \rangle = \int dx T(\varepsilon) | x \rangle \langle x | \psi \rangle = \int dx | x + \varepsilon \rangle \langle x | \psi \rangle = \int dx | x \rangle \langle x - \varepsilon | \psi \rangle = \int dx | x \rangle \psi(x - \varepsilon) </math>
 
Se <math>T(\varepsilon)</math> è una [[funzione analitica]], o semplicemente una [[funzione differenziabile|differenziabile]], allora è possibile sviluppare in [[serie di Taylor]] la funzione <math>\psi(x+-\varepsilon)</math> attorno a ''x'':
 
:<math>\psi(x+-\varepsilon) = T(\varepsilon)\psi(x) = \psi(x) +- \varepsilon {d \over dx}\psi(x) + ... = exp\left(-\varepsilon {d \over dx}\right)\psi(x)</math>
 
Matematicamente, l'oggetto esponenziando il quale si ottiene una trasformazione è il generatore della trasformazione, dunque -d/dx genera la traslazione infinitesima <math>T(\varepsilon)</math>. Inoltre l'operatore impulso deve essere anche hermitiano, e a tal proposito vi è unil [[teorema di Stone]] che afferma che se è possibile scrivere l'operatore ''T'' come
 
:<math>T(\varepsilon) = e^{iKi \varepsilon K} \ </math>
 
allora se ''T'' è unitario allorase ''K''e è hermitiano, esolo se ''K'' è hermitiano allora ''T'' è unitario.<br>
Uguagliando gli esponenziali delle ultime due espressioni si evince che il generatore delle traslazioni <math>K</math>, che è hermitiano, deve avere la forma
 
: <math>K = {d \over idx} = -i{d \over dx}</math>
 
essendo <math>1/i = -i</math>.<br>
Imponendo che la quantità di moto ''p'' prima e dopo la traslazione resti costante e considerando la lagrangiana come una funzione arbitraria generica, si prova che l'operatore ''K'' differisce dimensionalmente da ''p'' per una costante che sperimentalmente si dimostra essere la [[costante di Planck]] ridotta <math>\hbar</math>, cambiata di segno. Si può quindi definire l'operatore impulso nella meccanica quantistica come:
 
:<math> \hat{p} = - i \hbar { d \over dx } </math>