Teorema delle funzioni implicite: differenze tra le versioni
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Sia data una funzione continua <math>g:A\subseteq \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}</math>di classe <math>\mathcal{C}^1</math>nell'aperto <math>A</math>tale che per <math>(x_0, y_0)\in A</math>si abbia<blockquote><math>g(x_0, y_0) = 0 \;\;\;\;\; g_y(x_0, y_0)\neq 0</math></blockquote>Sia definita la funzione<blockquote><math>G(x,y)=y-\frac{g(x,y)}{g_y(x_0,y_0)}</math></blockquote>allora <math>G(x_0, y_0)= y_0</math>e <math>G(x,y) = y</math>per <math>x\in I</math>e <math>y\in J</math>. Dunque trovare gli zeri di <math>g(x,y)</math>si riduce a trovare il punto fisso della funzione <math>G(x,y)</math>.
Grazie al [[teorema delle contrazioni]] sappiamo che, definito <blockquote><math> X = \{ \psi: I\rightarrow J \;|\;\psi \in \mathcal{C}^0 \}</math></blockquote>siccome <math>G\in X</math>, <math> (X, \lVert\cdot\lVert_\infty)</math>è facile dimostrare che sia uno spazio metrico completo, allora <blockquote><math>\exists !\; y=f(x): G(x,f(x)) = f(x)</math></blockquote>Sia <math>H:X\rightarrow X</math>una contrazione tale che <blockquote><math>w \mapsto H[w](x) = G(x, w(x)) </math></blockquote>ci basta dimostrare che <math>H</math>sia ben definita, cioè che <math> H[w]\in X</math>. Questa deve avere le seguenti proprietà:
# <math>H[w]</math> è continua in <math>I</math>
# <math>\lVert H[w]-y_0 \rVert_\infty \leq \varepsilon</math>
La prima è ovvia siccome l'operatore è composizione di funzioni continue. La seconda può essere dimostrata tramite una catena di disuguaglianze <blockquote><math>\lVert H[w] - y_0 \rVert_\infty = \lVert G(x,w(x)) - G(x_0,y_0)\lVert_\infty \leq \lVert G(x, w(x)) - G(x,y_0)\lVert_\infty + \lVert G(x, y_0)-G(x_0,y_0)\lVert_\infty = </math></blockquote><blockquote><math> = \lVert G(x, w(x)) - G(x,y_0)\lVert_\infty + \lVert y_0 - \frac{g(x,y_0)}{g_y(x_0,y_0)}-y_0\lVert_\infty
\leq \lVert G_y(x,\xi_y) (w(x)-y_0)\lVert_\infty + \frac{\lVert g(x,y_0)\lVert_\infty}{|g_y(x_0,y_0)|} \leq </math></blockquote><blockquote><math> \leq \underset{\xi_y \in J}{\sup}|G_y(x,\xi_y)|\lVert w(x)-y_0 \lVert_\infty + \frac{\lVert g(x,y_0)\lVert_\infty}{|g_y(x_0,y_0)|}\leq \varepsilon</math></blockquote>dove si è applicato il [[teorema di Lagrange]] ed il fatto che <blockquote><math> \underset{\xi_y \in J}{\sup}G_y(x, \xi_y) \leq {1\over 2}</math> poiché limitata in <math> J</math> </blockquote><blockquote><math> \lVert w(x)-y_0 \lVert_\infty \leq \varepsilon</math>poiché <math> w(x)\in X</math></blockquote><blockquote><math> \frac{\lVert g(x,y_0)\lVert_\infty}{|g_y(x_0,y_0)|} \leq {\varepsilon \over 2}</math></blockquote>E' facile dimostrare che <math> H</math>è una contrazione:<blockquote><math> \lVert H[w]-H[v] \lVert_\infty = \lVert G(x,w(x)) - G(x,h(x)) \lVert_\infty \leq \underset{\xi \in J}{\sup}|G(x,\xi)|\lVert w-v \lVert_\infty \leq {1\over 2}\lVert w-v \lVert_\infty </math> </blockquote>▼
▲dove si è applicato il [[teorema di Lagrange]] ed il fatto che <blockquote><math> \underset{\xi_y \in J}{\sup}G_y(x, \xi_y) \leq {1\over 2}</math> poiché limitata in <math> J</math> </blockquote><blockquote><math> \lVert w(x)-y_0 \lVert_\infty \leq \varepsilon</math>poiché <math> w(x)\in X</math></blockquote><blockquote><math> \frac{\lVert g(x,y_0)\lVert_\infty}{|g_y(x_0,y_0)|} \leq {\varepsilon \over 2}</math></blockquote>E' facile dimostrare che <math> H</math>è una contrazione:<blockquote><math> \lVert H[w]-H[v] \lVert_\infty = \lVert G(x,w(x)) - G(x,h(x)) \lVert_\infty \leq \underset{\xi \in J}{\sup}|G(x,\xi)|\lVert w-v \lVert_\infty \leq {1\over 2}\lVert w-v \lVert_\infty </math> </blockquote>
== Il teorema in più dimensioni ==
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