Legge di conservazione dell'energia: differenze tra le versioni

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== Conservazione dell'energia meccanica ==
{{vedi anche|Bilancio di energia meccanica|Integrale primo}}
 
=== Forma debole ===
 
Considerando un sistema finito si dice [[Forza conservativa|conservativa]] una forza agente su di esso se per il [[Lavoro (fisica)|lavoro]] che compie in un intorno infinitesimo di qualsiasi punto vale il [[teorema di Torricelli]], ovvero esso dipende solo dai suoi estremi di frontiera r e r+dr e non dalla traiettoria infinitesima congiungente effettivamente seguita tra tutte le possibili:
 
: <math> \operatorname d L(r) = \int_{r}^{r+\operatorname dr} \bar F \cdot \operatorname d\bar r = -U(r+\operatorname dr)+U(r) = -\operatorname dU(r) </math>
 
In questo caso abbiamo che lungo un qualsiasi percorso che abbia inizio e fine in r il lavoro di una forza conservativa è nullo:
 
: <math> \int_r^r \bar F \cdot \operatorname d\bar r = -U(r)+U(r) = 0 </math>
 
Il [[teorema del rotore]] dimostra che se il campo di forze è continuo l'annullarsi della sua circuitazione implica l'annullarsi del suo rotore, quindi è possibile rappresentare la [[forza]] come il [[gradiente]] di uno scalare chiamato [[energia potenziale]]:
 
: <math> \bar F = - \nabla U(\bar x) </math>
 
Per un [[sistema scleronomo]] inoltre il [[teorema delle forze vive]] afferma che il lavoro di tutte le forze, conservative o meno, è pari alla variazione dell'[[energia cinetica]]:
 
: <math> \operatorname d L = \operatorname d K </math>
 
Da cui
 
: <math> -\operatorname d U = \operatorname d K </math>
 
E quindi:
 
: <math> \frac {\operatorname d E}{\operatorname dt} = 0 </math>
 
dove abbiamo definito energia meccanica la somma <math>E = U+K</math>
 
Questo ragionamento dimostra che in un sistema isolato conservativo e scleronomo, l'energia meccanica è una [[costante del moto]].
L'energia cinetica per un sistema continuo è esprimibile in base alla [[regola di Leibniz]] come:
 
: <math>K = \int_Q \bar v \cdot \operatorname d (m \bar v) = \int_{W^2} \frac 1 2 m \operatorname d v^2 + \int_M v^2 \operatorname d m = \frac 1 2 \int_{W^2} \int_V \rho \operatorname d r^3 \operatorname d v^2 + \int_V \rho v^2 \operatorname d r^3</math>.
 
In realtà la dissipazione di energia meccanica in un sistema può essere bilanciata dall'ingresso di forme ordinate di energia: dal [[bilancio della quantità di moto]] per un sistema continuo, deriva in via generale che perché l'energia meccanica si conservi dev'essere nulla la somma integrale:
 
: <math>\frac{\partial}{\partial t} \int_{M} u \operatorname dm - \int_{M} \frac{\partial \ln \rho}{\partial t} u \operatorname dm + \oint_{F_{\partial V}} \left( - \langle \bar v \rangle + \frac{\operatorname dr^3}{\operatorname d \bar {r^2}} \cdot \nabla \langle \bar v \rangle \right) \cdot \operatorname d \bar F_{\partial V} = 0</math>
 
ovvero in forma contratta perché l'energia meccanica si conservi la dissipazione cinetica può essere bilanciata da un calo di energia potenziale nel volume occupato dal sistema, da una conduzione cinetica netta dall'esterno o da un aumento di entropia potenziale:
 
: <math> D = - \frac{\partial U}{\partial t} + P + \Sigma</math>
 
=== Forma forte ===
 
Se il campo di accelerazione esterno è conservativo, come nel caso debole è associabile al gradiente di una densità (di energia) potenziale, e in ogni punto interno al sistema di continuità delle grandezze intensive la densità di dissipazione dev'essere bilanciata dalla somma della densità di corrente cinetica in conduzione e del calo locale di densità di energia potenziale nella posizione occupata dal frammento di sistema:
 
: <math> \frac{\bar \bar \sigma : \nabla \langle \bar v \rangle}{\rho} = \frac{\nabla \cdot (\bar \bar \sigma \cdot \langle \bar v \rangle)}{\rho} - \frac{\partial u}{\partial t}</math>
 
== Meccanica Hamiltoniana ==
Utente anonimo