Funzione di verosimiglianza: differenze tra le versioni

::<math>\ \mathcal{L}\colon b\mapsto P(A|B=b)</math>.

siSi definisce ancora funzione di verosimiglianza ogni funzione proporzionale a tale [[probabilità]]. Dunque, la funzione di verosimiglianza per <math>\ B</math> è la classe delle funzioni:

per ogni costante <math>\ \alpha>0</math>. A causa di ciò, l'esatto valore di <math>\ \mathcal{L}(b|A)</math> non è in generale rilevante; ciò che rilevaè importante sono rapporti nella forma: <math>\ \mathcal{L}(b_{2}|A)/\mathcal{L}(b_{1}|A)</math>, invarianti rispetto alla costante di proporzionalità.

A livello interpretativo, l'uso di una funzione di verosimiglianza trae giustificazione dal [[teorema di Bayes]], in base al quale, per due qualsiasi [[Spazio campionario#Eventi|eventi]] <math>\ A</math> e <math>\ B</math>:

dove sia <math>\ P(A|B)</math> che <math>\ \frac{P(A|B)}{P(A)}</math> sono funzioni di verosimiglianza. L'uso di funzioni di verosimiglianza ai fini dell'[[inferenza statistica]] costituisce un tratto distintivo dell'inferenza classica, o ''frequentista''; esso rappresenta inoltre una fondamentale differenza rispetto alla scuola dell'[[inferenza bayesiana]], in quanto lo statistico bayesiano conduce [[inferenza statistica|inferenza]] tramite la [[probabilità]] <math>\ P(B|A)</math> nell'espressione sopra.

Alcune idee relative alla funzione di verosimiglianza sembrano essere state introdotte da [[T. N. Thiele]] in un lavoro del [[1889]]. Il primo contributo in cui il concetto di funzione di verosimiglianza è esplicitamente formulato è tuttavia dovuto a [[Ronald Fisher]] ("''On the mathematical foundations of theoretical statistics''", [[1922]]). In tale lavoro, [[Ronald Fisher|Fisher]] usa inoltre l'espressione [[metodo della massima verosimiglianza]]; argomenta inoltre contro il ricorso alla [[condizionata]] nella forma <math>\ P(B|A)</math> nell'espressione sopra, da lui ritenuta ingiustificabile a causa dell'elemento di soggettività introdotto tramite la [[probabilità]] ''a priori'' (nel linguaggio che ora è proprio della [[statistica bayesiana]]) <math>\ P(B)</math>.

Il [[metodo della massima verosimiglianza]] ha le sue applicazioni più rilevanti nella prassi come metodo di stima di modelli parametrici. Considerando un insieme di osservazioni <math>\ \left\{x_{i}\right\}_{i=1}^{n}</math>, e una famiglia di [[funzione di densità|funzioni di densità]] (o di massa, nel caso di distribuzioni discrete), parametrizzate tramite il vettore <math>\ \vartheta</math>: