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Lo scienziato Galileo Galilei mostrò che i corpi materiali cadono, nel [[Vuoto (fisica)|vuoto]] (escludendo quindi qualunque effetto di [[attrito]]), tutti con la stessa [[accelerazione]], indipendentemente dalla loro [[Massa (fisica)|massa]]; questo fenomeno è conseguenza diretta dell'[[Massa (fisica)|equivalenza]] tra [[massa gravitazionale]] e [[massa inerziale]]. Da essa si dedusse che ogni corpo, in prossimità della superficie terrestre, subisce un'accelerazione pari a circa:
 
:<math>g \approx 9{,}81\,\mathrm{\frac{m}{s^{2}}}</math>
 
La formula esatta per l'accelerazione la si può ritrovare attraverso la legge della [[forza gravitazionale]]:
:<math>\mathbf a=\mathbf g</math>
indipendentemente dalla massa del corpo sottoposto alla forza di gravità. La relazione, proiettata lungo la verticale, diventa:
:<math>a_r \approx -9{,}81 \,\mathrm{ms^{-2}}</math>
 
== Legge oraria ==
dove il segno negativo è dovuto al fatto che il corpo si sta muovendo contrariamente al verso scelto come positivo nel [[sistema di riferimento]].<br />
Tuttavia la notazione utilizzata sopra si rivela utile nel caso in cui si stia studiando un moto che avviene in più di un verso (o direzione eventualmente), come per esempio il [[moto parabolico|moto del proiettile]]; se il moto del grave avviene in una sola direzione e in un solo verso è conveniente assegnare valore positivo all'[[accelerazione di gravità]].
Se immaginiamo di far cadere in assenza di [[attrito]] due oggetti di [[Massa (fisica)|massa]] diversa dalla medesima altezza e con la stessa velocità iniziale <math>v_{o}</math>, dalla [[legge oraria]] segue direttamente che il tempo di caduta sarà identico (si noti che la massa non compare in nessuna delle precedenti equazioni).
 
==Spazio percorso durante l<nowiki>'</nowiki>''n''-esimo secondo==
Per un grave in caduta libera con velocità iniziale uguale a zero, sottoposto alla sola [[forza peso]], lo spazio percorso (espresso in metri) durante l<nowiki>'</nowiki>''n''-esimo secondo è pari a:
 
:<math>g\left(n - \frac{1}{2}\right)</math>
 
Infatti, calcolare tale spazio significa calcolare la differenza tra lo spazio percorso dopo <math>n</math> secondi e lo spazio percorso dopo <math>(n-1)</math> secondi, ovvero:
 
:<math>x(n)-x(n-1) = \frac{1}{2}gn^{2} - \left[\frac{1}{2}g(n-1)^{2}\right]</math>
 
da cui sviluppando i quadrati e semplificando segue il risultato. Il segno positivo nell'accelerazione <math>g</math> è assunto per determinare uno spazio positivo, indipendentemente da qualsiasi sistema di riferimento.
 
dove ''h'' è l'altezza iniziale (espressa in metri) del corpo rispetto al suolo.
Le equazioni necessarie al calcolo di <math>v_f</math> sono quelle della velocità ''v(t)'' e la [[legge oraria]] che caratterizzano il [[moto uniformemente accelerato]], ovvero (nelle rispettive forme compatte):
 
:<math>
da cui:
 
:<math>gh = \frac {1}{2}v_{f}^{2}</math>; <math> 2gh = v_{f}^{2}</math>; <math>v_f=\sqrt {2gh}</math>
 
La relazione che lega invece la velocità con il tempo è:
la quale è un'[[equazione differenziale]] a variabili separabili:
 
:<math>mg - \beta v = m \frac {dv}{dt} \quad \Rightarrow \quad
\frac {dv}{dt} = g-\frac {\beta}{m}v \quad \Rightarrow \quad
\frac {dv}{g-\frac {\beta}{m}v} = {dt}</math>
 
si ottiene:
 
:<math>\ln\left({\frac{g-\frac {\beta}{m}v}{g}}\right) = -\frac {\beta}{m}t \quad \Rightarrow \quad \frac{g-\frac {\beta}{m}v}{g}=e^{-{\frac{\beta}{m}t}} \quad \Rightarrow \quad \frac {\beta}{mg}v = 1-e^{-{\frac{\beta}{m}t}}</math>
 
Si nota che:
</math>
Ed, attraverso delle sostituzioni, l'equazione esplicita di y in funzione di x:
:<math>y=y_0+\frac{\ln \left(1-\frac{\varepsilon}{v_{x_0}} \cdot (x-x_0)\right)}{\varepsilon^2}g+\frac{v_{y_0}\varepsilon+g}{v_{x_0}\varepsilon} \cdot (x-x_0)</math>
 
==Approfondimenti==
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