Polo (analisi complessa): differenze tra le versioni
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→Ordine del polo: esempi |
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Analogamente, <math> z_0 </math> è un polo se per qualche <math> h>0 </math> il limite:
:<math>b_h = \lim_{z \rightarrow z_0} f(z) \left ( z-z_0 \right )^h
esiste ed è diverso da zero. In questo caso la funzione ha nel punto <math> z_0 </math> un polo di ordine <math> h</math>.
==Esempi ==
Una funzione
:<math> f(z) = \frac {p(z)}{q(z)} </math>
dove <math> p </math> e <math> q </math> sono [[polinomio|polinomi]] senza [[radice (matematica)|radici]] in comune (quindi la funzione è ridotta ai minimi termini), è definita su
:<math>\mathbb C\setminus\{z_1,\ldots,z_n\} </math>
dove <math> z_1,\ldots,z_n </math> sono le radici di <math>q </math>. Ciascuno di questi punti è un polo, il cui ordine è pari alla molteplicità della radice. Ad esempio,
:<math> f(z) = \frac {z+1}{z(z-1)^2} </math>
ha un polo di ordine 1 in 0 ed un polo di ordine 2 in 1.
La funzione
: <math> f(x) = \frac{1}{\sin x} </math>
è definita su
:<math>\mathbb C\setminus \{k\pi\ |\ k\in\mathbb Z\} </math>
ed ha un polo di ordine uno su ogni punto <math>k\pi</math>. Ha quindi infiniti poli.
== Funzione meromorfa ==
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