Differenze tra le versioni di "Strato limite di quantità di moto"

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dove ''q<sub>l</sub>'' rappresenta il flusso di massa entrante dal bordo superiore. Dopo aver semplificato si ricava la seguente espressione:
 
:<math> \frac{\partial} {\partial x} \left( \int_0^\delta \rho\vec u dy \right) = q_l \, </math>
 
A questo punto, si passa ad applicare il [[legge di conservazione della quantità di moto|bilancio di quantità di moto]]:
anche nota come '''equazione di von Kármán'''<ref>Dal nome del suo teorizzatore, l'ingegnere ungherese [[Theodore von Kármán]].</ref> che, nel caso di moto a potenziale nello strato esterno allo strato limite laminare, supponendo che
 
:<math>\frac{\partial p} {\partial x} = \mathrm{costante} </math>
 
e
 
:<math>\frac{\partial \vec U_0} {\partial x} = \mathrm{costante} </math>
 
si semplifica nella seguente espressione
ottenendo quindi l'equazione di von Kármán in forma adimensionale
 
:<math> \frac {\tau }{{\rho U_0}} = - \frac{\partial}{\partial x} \delta \left( \int_0^1 \vec u_1(1-\vec u_1) d\eta \right) {.}</math>
 
A questo punto l'equazione può essere integrata facilmente non appena sia nota la distribuzione delle velocità. Per fare ciò è quindi necessario conoscere la distribuzione delle velocità. Nel caso di strato limite laminare il problema è stato risolto da [[Paul Richard Heinrich Blasius|Blasius]] nel [[1908]] secondo cui la soluzione è espandibile in serie di potenze. Tuttavia la soluzione di Blasius risulta laboriosa per cui sono state proposte diverse altre soluzioni. Tra quelle che approssimano meglio la distribuzione delle velocità va citata sicuramente la distribuzione di [[Ernst Pohlhausen|Pohlhausen]]<ref>Ernst Pohlhausen fu uno dei ricercatori che lavorarono con Prandtl.</ref> proposta nel [[1921]] che approssima la funzione con un polinomio di 4 grado del tipo
ovvero, indicando con i pedici le derivate parziali:
 
:<math> u_x + u_y = 0 .</math>
 
Analogamente viene semplificata anche l'equazione di conservazione della quantità di moto, in forma vettoriale:
 
:<math> \begin{cases}
u_x + u_y = 0 \\
u u_x + v u_y = - \frac{1}{\rho} p_x + \mathcal D_p u_{yy} \\
p_y = 0
Inserendo a questo punto la seguente espressione nell'equazione di von Karman è quindi possibile svolgere l'integrale dal quale si ottiene
 
:<math> \frac {\tau }{{\rho U_0}} = - \frac{\partial}{\partial x} \delta \int_0^1 (2\eta-2\eta^2+\eta^4)(1-2\eta-2\eta^2+\eta^4) d\mathbf {\eta} = \frac {36} {315} \frac{\partial \delta}{\partial x} </math>
 
:<math> \frac {\tau }{{\rho U_0}} = \frac {36} {315} \frac{\partial \delta}{\partial x} {.}</math>
 
Tuttavia l'espressione precedente contiene ancora due incognite <math> \delta</math> e <math> \tau</math> e necessita pertanto ancora di una seconda equazione per essere risolta. Questa è appunto fornita dal fatto che il fluido sia newtoniano. Si applica quindi l'equazione di Newton
Inserendo quindi il risultato così ottenuto nella relazione
 
:<math> \frac {\tau }{{\rho U_0}} = \frac {36} {315} \, \frac{\partial \delta}{\partial x} </math>
 
ed integrando si ricava
dove la costante di integrazione può essere posta 0 in virtù del fatto che la velocità sul bordo inferiore adiacente alla parete è nullo. Rimanipolando l'espressione appena ricavata dividendo per x e facendo la radice quadra
 
:<math> \frac {\delta}{x} = 5{,}836 \sqrt {\frac {\mu} {\rho U_0 x}} </math>
 
si può quindi riscrivere l'espressione per lo sforzo tangenziale come
 
===Strato limite turbolento===
Per valori del [[numero di Reynolds]] superiori a 3 · 10<sup>5</sup> lo strato limite inizia a divenire turbolento e la trattazione vista in precedenza non è più approssimata. Nel caso in cui il numero di Reynolds sia costante, il problema può comunque essere studiato nell'ipotesi di ''moto statisticamente stazionario'', applicando la seguente scomposizione della velocità
 
:<math>u_i\left(\vec{x},t\right)=\overline{u_i}\left(\vec{x},t\right)+u_i'\left(\vec{x},t\right)</math>
Si possono adesso fare le seguenti ipotesi
 
:<math> u_x >>\gg u_y \ </math>
 
:<math>\frac{\partial u_x}{\partial y}>> \gg \frac{\partial u_x}{\partial x}</math>
 
:<math>\frac{\partial p}{\partial x}=0</math>
:<math> \frac{\tau}{\rho} = -u_x' u_y' .</math>
 
Osservato quindi che in virtù del fatto che il moto è unidirezionale si osserva che il tensore degli sforzi è composto da un singolo termine. Pertanto appare lecito applicare all'equazione il modello diffusivo di [[Boussinesq]] riscrivendo il termine a destra dell'equazione precedente come segue
 
:<math> u_x' u_y' = -\varepsilon \left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) </math>
dove k indica la costante di von Karman il cui valore è compreso tra 0,4 e 0,41. Appurato che tutte le grandezze prese in esame sono positive e dopo aver estratto la radice quadrata positiva si ottiene
 
:<math>(ky)\left(\frac{\partial u}{\partial y}\right)=u_0 .</math>
 
Rimanipolando l'equazione
 
:<math>d\left(\frac{u}{u_0}\right) = \frac{1}{k} \frac{dy}{y} </math>
 
e ricordando la definizione data in precedenza per y^+ e u^+ si ottiene
:<math>u^+=\frac{1}{k} \ln(y^+)+B .</math>
 
Per calcolare la costante di integrazione B si dovrebbe conoscere il valore della velocità in una delle due estremità della regione esterna. Tuttavia nella maggiore parte delle applicazioni non si conosce ne la velocità del Buffer ne quella del moto all'esterno dello strato limite e non è quindi possibile calcolare il valore della costante. Dal punto di vista applicativo però si potrebbe immaginare di trascurare il buffer ed immaginare di collegare la regione interna con quella esterna, supponendo che esista una transizione diretta dal sottostrato di turbolenza di parete al sottostrato viscoso. Le risultanze sperimentali di [[Johann Nikuradse|Nikuradse]] indicano che questo passaggio avviene per valori di ''y''<sup>+</sup> = 11,6, per cui questo valore è stato fissato con 5,5. Studi più recenti condotti nel [[1986]] effettuati da Coles e Hirst hanno invece corretto il valore calcolato da Nikuradse fissandolo a 5.
 
====Approssimazione dello strato limite turbolento con una unica legge di potenza====
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