Bisettrice: differenze tra le versioni

In [[geometria]], la '''bisettrice''' è il nome dato a un [[Piano bisettore|piano]] o linea, semiretta o anche [[retta]], utilizzati per la bisezione di un'entità geometrica, come un [[segmento]], [[triangolo]], [[poligono]] in generale o un [[angolo]], in due parti congruenti (come dice la radice del nome ''bi'', cioè due).

[[File:Rette Bisettrici.png|right]] Nella [[geometria euclidea]], la retta bisettrice si può caratterizzare anche come il luogo dei punti del [[piano (matematica)|piano]] equidistanti da una coppia di [[retta|rette]]. Se queste sono incidenti, si hanno due bisettrici perpendicolari fra loro; se, invece, sono parallele, si avrà allora un'unica bisettrice anch'essa parallela alle due e ivi compresa a metà strada.

In [[geometria]], la bisettrice è la semiretta che divide l'[[angolo]] in due settori [[Congruenza (geometria)|congruenti]].

La bisettrice ovviamente esiste e può essere costruita anche per gli [[Angolo#AngoliLa misurazione dell'ampiezza degli angoli convessi e concavi|angoli concavi]]: è la semiretta opposta alla bisettrice costruita per l'[[angolo esplementare]] a quello dato.

:'''Dimostrazione'''<br />Se individuiamo due generici punti <math>\scriptstyle A</math> e <math>\scriptstyle B</math> sui lati dell'angolo tali per cui le relative distanze dalla bisettrice si intersechino in <math>\scriptstyle R</math> sulla bisettrice, per verificare il teorema occorre che i segmenti <math>\scriptstyle AR</math> e <math>\scriptstyle BR</math> siano congruenti.<br />Per loro definizione una distanza forma un angolo retto con la base, ragione per cui <math>\scriptstyle AR</math> e <math>\scriptstyle BR</math> sono anche i [[cateto|cateti]] di due distinti triangoli rettangoli, aventi <math>\scriptstyle OR</math> come [[ipotenusa]] e un angolo all'origine; essendo quindi le ipotenuse e, per la dimostrazione di sopra, almeno uno degli angoli acuti congruenti, per il terzo [[Criteri di congruenza dei triangoli#Triangoli rettangoli|criterio di congruenza dei triangoli rettangoli]], anche i cateti <math>\scriptstyle AR</math> e <math>\scriptstyle BR</math>, ovvero le distanze, risultano <math>\scriptstyle AR \cong BR</math>.

Nel [[triangolo]], per bisettrice di un angolo non s'intende solitamente più la semiretta che lo divide, ma il tratto di questa retta che congiunge il vertice col lato opposto; si tratta dunque di un ''segmento'' di cui è possibile determinare lunghezza.<br />[[File:Bisettrici dell'angolo.png|right]]

Si è soliti, poi, distinguere la bisettrice a seconda se cada fuori o dentro al [[perimetro]] del triangolo considerando "interna" la bisettrice che giace internamente al perimetro, ed "esterna" quella che invece congiunge il vertice al prolungamento del lato opposto, in altre parole la bisettrice dell'angolo esterno, che è sempre esterna al perimetro del triangolo.

* In qualsiasi triangolo, le bisettrici interne si congiungono tutte e tre in un unico punto, [[incentro]], interno al poligono ed equidistante dai lati del triangolo, mentre le bisettrici esterne si congiungono a coppie, assieme al prolungamento della bisettrice interna del terzo vertice, in un punto esterno ([[ex-centro]]) al perimetro equidistante dal loro lato comune e dai prolungamenti degli altri due lati.

:'''Dimostrazione'''[[File:Teorema della bisettrice interna.png|right]]<br />Si considerino i triangoli ALC e ABL componenti ABC, avendo la stessa altezza, le loro aree staranno nel medesimo rapporto delle basi LC e LB<ref>ALC e ABL hanno la stessa altezza del triangolo originario rispetto alle basi LC e LB; considerando quindi A₁ e A₂ le loro basi si ha <math>\scriptstyle {A_1 \over A_2} ={CL*h \over LB*h}={CL \over LB} </math></ref>, i due segmenti evidenziati dalla bisettrice; date, però, le proprietà di quest'ultima, anche che in L, i due triangoli avranno la medesima altezza<ref>Siccome la bisettrice è equidistante dai lati in ogni sui punto, in L la distanza del vertice dai lati AC e AB, ora basi di ALC e ABL deve essere la stessa</ref>, ragione per cui le loro aree staranno ancora nello stesso rapporto delle basi ora rappresentate da CA e AB, lati del triangolo iniziale.<br />Essendo dunque costante entrambe le volte il rapporto ed essendo sempre le stesse aree possiamo scrivere che: <math>\scriptstyle CA : AB = LC : LB</math> [[Come volevasi dimostrare|Cvd]].

<div align="center">''Ogni bisettrice esterna interseca il prolungamento del lato opposto in un punto le cui distanze dagli estremi di questo stanno fra loro come i lati adiacenti.''<ref>Il teorema è applicabile solamente alla bisettrice esterna dalla parte del lato più corto del vertice, in quanto solo da questa parte la bisettrice e il prolungamento sono convergenti.</ref>