Giunzione Josephson: differenze tra le versioni
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==Le equazioni di Josephson==
Applicando una corrente di polarizzazione <math>I_b\ </math> tra i due elettrodi della giunzione le [[coppie di Cooper]] possono passare attraverso la barriera per effetto tunnel non sviluppando una differenza di potenziale tra gli elettrodi, ma semplicemente una differenza di fase <math>\delta
<math>I_b=I_c\sin \delta
Tale equazione stabilisce che la corrente può scorrere attraverso la giunzione senza tensione ai capi fino ad una corrente massima <math>I_c\ </math>, detta corrente critica. Si può mostrare che vi è un forte legame tra la corrente critica e la resistenza di Tunnel. Infatti dalla [[teoria BCS]] segue che tale legame valga:
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<math>I_c=\frac {\pi \Delta}{2eR_n}\tanh \frac {\Delta}{2kT}\ </math>
Dove <math>\Delta\ </math> è la
L'espressione è valida se le dimensioni delle giunzioni sono piccole rispetto alla cosiddetta
lunghezza Josephson, vedi nel seguito. Se le dimensioni della giunzione sono maggiori di tale lunghezza, normalmente dell'ordine della decina μm, bisogna tenere conto della variazione spaziale della
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[[Immagine:I-V characteristics of Josephson Junction.JPG|left|thumb| Tipica corrente tensione di una giunzione Josephson; la scala dell'asse verticale è di 50 µA, quella dell'asse orizzontale è in mV]]
La figura mostra la caratteristica corrente tensione di una tipica giunzione Josephson di <math>5x5\ \mu m^2</math>. Se la corrente di [[Polarizzazione elettrica|polarizzazione]] parte da zero ed è aumentata, la giunzione rimane nello stato di tensione zero (la linea centrale verticale) fino a quando è raggiunta la corrente critica di circa 70 µA. A questo punto la caratteristica va improvvisamente nello stato a tensione pari alla
La seconda equazione di Josephson descrive la dinamica della differenza di fase quando una differenza di potenziale finita '''V''' è applicata alla giunzione Josephson:
▲<math>\frac {d\delta \varphi}{dt}=\frac {2e}{\hbar }V=\frac {2\pi }{\Phi_o} V\ </math>
La grandezza <math>\Phi_o=\frac {h }{2e}\ </math> viene chiamato [[quanto di flusso magnetico]]
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La resistenza normale di una giunzione Josephson è inversamente proporzionale all'area dei due superconduttori affacciati, mentre la densità di corrente <math>J_c\ </math> critica è inversamente proporzionale all'area della giunzione, ed è il parametro da considerare per definire le proprietà generali della barriera. La lunghezza Josephson è infatti definita come:
:<math>\lambda_J=\sqrt{\frac {\Phi_o}{4\pi \mu_o J_c\lambda}}</math>▼
dove <math>\lambda\ </math> è la lunghezza di penetrazione nel [[superconduttore]], la formula è scritta trascurando lo spessore della barriera stessa. Se le dimensioni della giunzione sono piccole rispetto a <math>\lambda_J\ </math>, quanto detto circa le equazioni di Josephson ed il legame tra corrente critica ed <math>R_n\ </math> vale con buona approssimazione.▼
Quando le dimensioni diventano maggiori di tale lunghezza, la fase diventa una funzione dipendente dallo spazio nella regione della giunzione e la fenomenologia diventa più complicata. Le giunzioni Josephson, essendo costituite da due [[elettrodi]] affacciati a distanza molto ravvicinata, hanno naturalmente una capacità elettrica, proporzionale all'area affacciata e poco dipendente dallo spessore della barriera: le giunzioni più comuni hanno capacità tipiche di <math>50\ fF/\mu m^2</math>.▼
== Induttanza Josephson==
▲<math>\lambda_J=\sqrt{\frac {\Phi_o}{4\pi \mu_o J_c\lambda}}</math>
La giunzione Josephson si comporta come una induttanza variabile per piccoli segnali varia\-bili nel tempo.
Immaginiamo di polarizzare una giunzione Josephson ad un corrente inferiore al valore critico per la prima equazione di Josephson:
▲dove <math>\lambda\ </math> è la lunghezza di penetrazione nel [[superconduttore]], la formula è scritta trascurando lo spessore della barriera stessa. Se le dimensioni della giunzione sono piccole rispetto a <math>\lambda_J\ </math>, quanto detto circa le equazioni di Josephson ed il legame tra corrente critica ed <math>R_n\ </math> vale con buona approssimazione.
:<math>I_o=I_c\sin \delta_o\ </math>
▲Quando le dimensioni diventano maggiori di tale lunghezza, la fase diventa una funzione dipendente dallo spazio nella regione della giunzione e la fenomenologia diventa più complicata. Le giunzioni Josephson, essendo costituite da due [[elettrodi]] affacciati a distanza molto ravvicinata, hanno naturalmente una capacità elettrica, proporzionale all'area affacciata e poco dipendente dallo spessore della barriera: le giunzioni più comuni hanno capacità tipiche di <math>50\ fF/\mu m^2</math>.
Se sovrapponiamo un piccolo segnale:
:<math>I_o+dI=I_c\sin (\delta_o+d\delta)\approx I_c\sin \delta_o+I_c\cos \delta_o d\delta\ </math>
(l'approssimazione è fatta con la serie di Taylor), quindi
:<math>dI\approx I_c\cos \delta_o d\delta\ </math>
Quindi:
:<math>\frac {d {\delta}}{d t}=\frac 1{I_c\cos \delta_o}\frac {dI}{d t}\ </math>
Sostituendola nella II equazione di Josephson :
:<math>V(t)=\frac {\hbar}{2e}\frac 1{I_c\cos \delta_o}\frac {dI}{d t}\ </math>
La grandezza :
:<math>L_J=\frac {\hbar}{2e}\frac 1{I_c\cos \delta_o}\ </math>
Si comporta a tutti gli effetti circuitali come una induttanza in quanto è la costante di proporzionalità tra derivata della corrente e differenza di potenziale. Ma in più è una induttanza la cui variazione può essere determinata dalla corrente di polarizzazione, infatti se la corrente di polarizzazione viene aumentata, aumenta <math>\delta_o\ </math> e quindi il suo coseno al denominatore diminuisce e quindi l'induttanza Josephson cresce.
== Modello RSJ==
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mostrato nella figura, immaginando di porre a massa l'elettrodo inferiore, l'equazione del nodo. Per polarizzazione in corrente diventa:
<math>I_b=I_c\sin \delta
dove <math>I_b\ </math> è la corrente di polarizzazione e <math>V\ </math> la tensione ai capi della giunzione. Tale equazione una volta che si esprima la tensione in funzione della seconda equazione Josephson:
<math>\frac {\hbar C}{2e} \frac {d^2 \delta
Il parametro adimensionale:
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