Dimostrazione della irrazionalità di e: differenze tra le versioni
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Il numero [[e (costante matematica)|''e'']] fu introdotto nel 1683 da [[Jacob Bernoulli]]. Più di mezzo secolo dopo, [[Eulero]], che fu uno studente di [[Johann Bernoulli]] (fratello minore di Jacob), dimostrò che <math>e</math> è [[numero irrazionale|irrazionale]]; cioè, non è può essere espresso come rapporto tra due interi.
==
Eulero scrisse la prima dimostrazione dell'irrazionalità di <math>e</math> nel 1737 (ma il testo venne pubblicato solamente sette anni dopo).<ref>{{cite journal | last = Euler | first = Leonhard | year = 1744 | title = De fractionibus continuis dissertatio | url = http://www.math.dartmouth.edu/~euler/docs/originals/E071.pdf | journal = Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae | volume = 9 | pages = 98–137 |trans-title=A dissertation on continued fractions}}</ref><ref>{{cite journal | last = Euler | first = Leonhard | title = An essay on continued fractions | journal = Mathematical Systems Theory | volume = 18 | pages = 295–398 | url = https://kb.osu.edu/dspace/handle/1811/32133 | publication-date = 1985 | doi=10.1007/bf01699475}}</ref><ref>{{cite book | last1 = Sandifer | first1 = C. Edward | title = How Euler did it | chapter = Chapter 32: Who proved ''e'' is irrational? | publisher = [[Mathematical Association of America]] | pages = 185–190 | year = 2007 | isbn = 978-0-88385-563-8 | lccn = 2007927658}}</ref> Il matematico svizzero calcolò la rappresentazione di <math>e</math> come [[frazione continua]] semplice, che è
:<math>e = [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, \ldots, 2n, 1, 1, \ldots]. </math>
Poiché questa frazione continua è infinita mentre ogni numero razionale è rappresentato da una finita, <math>e</math> è irrazionale. Per una breve dimostrazione della frazione continua di <math>e</math>, vedere ''Cohn (2006)''.
<math>x = b!\left( e - \sum_{n=0}^{b}1/n! \right)</math>.▼
<ref>[https://arxiv.org/pdf/math/0601660.pdf A Short Proof of the Simple Continued Fraction Expansion of e]</ref><ref>{{cite journal | last = Cohn | first = Henry | journal = [[American Mathematical Monthly]] | volume = 113 | issue = 1 | pages = 57–62 | publisher = [[Mathematical Association of America]] | year = 2006 | title = A short proof of the simple continued fraction expansion of ''e'' | jstor = 27641837 | doi=10.2307/27641837}}</ref> Poichè la frazione continua di <math>e</math> non è periodica, questo dimostra anche che <math>e</math> non è radice di un polinomio di secondo grado a coefficienti razionali; in particolare, <math>e^2</math> è irrazionale.
==Dimostrazione di Fourier==
La dimostrazione più conosciuta è quella di [[Joseph Fourier]] procedendo [[dimostrazione per assurdo|per assurdo]],<ref>{{Cite book | last1 = de Stainville | first1 = Janot | year = 1815 | title = Mélanges d'Analyse Algébrique et de Géométrie |trans-title=A mixture of Algebraic Analysis and Geometry | publisher = Veuve Courcier | pages = 340–341}}</ref> che si basa sull'identità
: <math>
Si supponga che <math>e</math> sia un [[numero razionale]]. Allora esistono <math>a</math> e <math>b</math> interi positivi tale che <math>e=a/b</math>. Da notare che <math>b</math> non può essere uguale a 1 dato che <math>e</math> non è un intero. Si può dimostrare utilizzando la precedente identità che <math>e</math> è strettamente compreso tra <math>2</math> e <math>3</math>:
:<math>
<math>x = \sum_{n=b+1}^{\infty}b!/n!</math>▼
2 = 1 + \tfrac{1}{1!} \ \ < \ \ e = 1 + \tfrac{1}{1!} + \tfrac{1}{2!} + \tfrac{1}{3!} + \cdots \ \ < \ \ 1 + (1 + \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{2^2} + \tfrac{1}{2^3} + \cdots) \ \ = \ \ 3.
</math>
Si definisca il numero
:<math>
Se <math>e</math> è razionale, allora <math>x</math> è un intero, infatti sostituendo <math>e=a/b</math> nella definizione di <math>x</math> si ottiene
:<math>
x = b!\,\biggl(\frac{a}{b} - \sum_{n = 0}^{b} \frac{1}{n!}\biggr)
= a(b - 1)! - \sum_{n = 0}^{b} \frac{b!}{n!}\,.
</math>
Il primo termine è un intero, e ogni frazione nella somma è in effetti anch'essa un intero poiché <math>n\leq b</math> per ogni termine. Pertanto, <math>x</math> è un intero.
Si dimostra ora che <math>0<x<1</math>. Prima, per mostrare che <math>x</math> è strettamente positivo, si inserisce la rappresentazione in serie di <math>e</math> nella definizione di <math>x</math>, da cui si ricava
:<math>x = b!\,\biggl(\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{n!} - \sum_{n = 0}^{b} \frac{1}{n!}\biggr) = \sum_{n = b+1}^{\infty} \frac{b!}{n!}>0\,,</math>
poiché tutti i termini sono strettamente positivi.
Resta da dimostrare che <math>x<1</math>. per tutti i termini con <math>n\geq b+1</math> si ha la stima superiore
:<math>\frac{b!}{n!}
=\frac1{(b+1)(b+2)\cdots(b+(n-b))}
<\frac1{(b+1)^{n-b}}\,.
</math>
Questa disuguaglianza è stretta per ogni <math>n\geq b+2 </math>. Cambiando l'indice della sommatoria in <math>k=n-b</math> e utilizzando la formula della [[serie geometrica]], si ottiene
:<math>
x
< \sum_{n=b+1}^\infty \frac1{(b+1)^{n-b}}
=\sum_{k=1}^\infty \frac1{(b+1)^k}
=\frac{1}{b+1} \biggl(\frac1{1-\frac1{b+1}}\biggr)
= \frac{1}{b} < 1.
</math>
Dal momento che non esistono degli interi strettamente compresi tra <math>0</math> e <math>1</math>, si è ottenuta una contraddizione e quindi <math>e</math> deve essere irrazionale. [[Q.E.D.]]
==Dimostrazioni alternative==
Si può ottenere un'altra dimostrazione <ref>{{Citation | last1 = MacDivitt | first1 = A. R. G. | last2 = Yanagisawa | first2 = Yukio | title = An elementary proof that ''e'' is irrational | journal = The Mathematical Gazette | volume = 71 | issue = 457 | pages = 217 | year = 1987 | publisher =Mathematical Association | place = London | jstor = 3616765 | doi=10.2307/3616765}}</ref> da quella precedente notando che
:<math>(b+1)x=1+\frac1{b+2}+\frac1{(b+2)(b+3)}+\cdots<1+\frac1{b+1}+\frac1{(b+1)(b+2)}+\cdots=1+x,</math>
e questa disuguaglianza è equivalente a <math>bx<1</math>. Questo è ovviamente impossibile, poiché <math>b</math> e <math>x</math> sono numeri naturali.
Un'altra dimostrazione ancora<ref>{{cite journal | last = Penesi | first = L. L. | year = 1953 | title = Elementary proof that ''e'' is irrational | journal = [[American Mathematical Monthly]] | publisher = [[Mathematical Association of America]] | volume = 60 | issue = 7 | pages = 474 | jstor = 2308411 | doi = 10.2307/2308411 }}</ref> <ref>Apostol, T. (1974). Mathematical analysis (2nd ed., Addison-Wesley series in mathematics). Reading, Mass.: Addison-Wesley.</ref> deriva dal fatto che
:<math>\frac1e=e^{-1}=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{n!}\cdot</math>
Si definisca <math>s_{n}</math> come segue:
<math>s_{n}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^{k}}{k!} </math>
<math> e^{-1} -s_{2n-1}=\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^{k}}{k!} - \displaystyle\sum_{k=0}^{2n-1} \frac{(-1)^{k}}{k!} <\frac{1}{(2n)!}</math>
Questo implica che <math> 0<(2n-1)!(e^{-1}-s_{2n-1})<\frac{1}{2k} \leq \frac{1}{2} </math> per ogni intero <math> n \geq 2 </math>
Si nota che <math>(2n-1)!s_{2n-1} </math> è sempre un intero. Si assuma che <math> e^{-1}</math> sia razionale.
Quindi, <math>e^{-1}=\frac{p}{q} </math> dove <math>p,q</math> sono coprimi e <math>q \neq 0 </math>. È possibile scegliere <math>n</math> propriamente in modo che <math>(2n-1)!e^{-1}</math> sia un intero, cioè prendendo <math>n \geq \frac{q+1}{2} </math>.
Perciò, con questa scelta, la differenza tra <math>(2n-1)!e^{-1}</math> e <math>(2n-1)!s_{2n-1} </math> dovrebbe essere un intero. Ma segue dalla disuguaglianza precedente che è impossibile. Quindi, <math>e^{-1}</math> è irrazionale. Questo significa che <math>e</math> è irrazionale.
==Generalizzazioni==
Nel 1840, [[Joseph Liouville|Liouville]] pubblicò una dimostrazione dell'irrazionalità di <math>e^2</math> <ref>{{cite journal | last = Liouville | first = Joseph | journal = Journal de Mathématiques Pures et Appliquées | title = Sur l'irrationalité du nombre ''e'' = 2,718… | series = 1 | volume = 5 | pages = 192 | year = 1840}}</ref> seguita dalla dimostrazione che quest'ultimo non è neanche una radice di un polinomio di secondo grado a coefficienti razionali.<ref>{{cite journal | last = Liouville | first = Joseph | journal = Journal de Mathématiques Pures et Appliquées | title = Addition à la note sur l'irrationnalité du nombre ''e'' | series = 1 | volume = 5 | pages = 193–194 | year = 1840}}</ref> Questo ultimo risultato implica che <math>e^4</math> è irrazionale. Le sue dimostrazioni erano simili a quella di Fourier dell'irrazionalità di <math>e</math>. Nel 1891, [[Adolf Hurwitz|Hurwitz]] spiegò come è possibile dimostrare attraverso la stessa strategia che <math>e</math> non è una radice di un polinomio di terzo grado a coefficienti razionali.<ref>{{cite book | last1 = Hurwitz | first1 = Adolf | year = 1933 | origyear = 1891 | title = Mathematische Werke | volume = 2 | chapter = Über die Kettenbruchentwicklung der Zahl ''e'' | publisher = Birkhäuser | location = Basel | pages = 129–133}}</ref> In particolare, <math>e^3</math> è irrazionale.
Più in generale, <math>e^q</math> è irrazionale per ogni <math>q</math> razionale diverso da zero.<ref>{{Citation | last1=Aigner | first1=Martin | author1-link = Martin Aigner | last2=Ziegler | first2=Günter M. | author2-link=Günter M. Ziegler | title=[[Proofs from THE BOOK]] | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | year=1998|pages=27–36|isbn=978-3-642-00855-9|doi=10.1007/978-3-642-00856-6|edition=4th}}.</ref>
==Note==
<references/>
==Voci correlate==
* [[Definizioni della funzione esponenziale]]
* [[Dimostrazione della irrazionalità di π]]
* [[Teorema di Lindemann-Weierstrass]]
{{Portale|matematica}}
[[Categoria:Dimostrazioni matematiche|Irrazionalità di e]]
[[Categoria:Numeri]]
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