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==Dimostrazione di Eulero==
Eulero scrisse la prima dimostrazione dell'irrazionalità di <math>e</math> nel 1737 (ma il testo venne pubblicato solamente sette anni dopo).<ref>{{cite journalCita pubblicazione| last cognome= Euler | first nome= Leonhard | year anno= 1744 | title titolo= De fractionibus continuis dissertatio | url = http://www.math.dartmouth.edu/~euler/docs/originals/E071.pdf | journal rivista= Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae | volume = 9 | pages pp= 98–137 |trans-titletitolotradotto=A dissertation on continued fractions}}</ref><ref>{{cite journalCita pubblicazione| last cognome= Euler | first nome= Leonhard | title titolo= An essay on continued fractions | journal rivista= Mathematical Systems Theory | volume = 18 | pages pp= 295–398 | url = https://kb.osu.edu/dspace/handle/1811/32133 | publication-date datapubblicazione= 1985 | doi=10.1007/bf01699475}}</ref><ref>{{cite bookCita libro| last1 cognome1= Sandifer | first1 nome1= C. Edward | title titolo= How Euler did it | chapter capitolo= Chapter 32: Who proved ''e'' is irrational? | publisher editore= [[Mathematical Association of America]] | pages pp= 185–190 | year anno= 2007 | isbn = 978-0-88385-563-8 | lccn = 2007927658}}</ref> Il matematico svizzero calcolò la rappresentazione di <math>e</math> come [[frazione continua]] semplice, che è
:<math>e = [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, \ldots, 2n, 1, 1, \ldots]. </math>
Poiché questa frazione continua è infinita mentre ogni numero razionale è rappresentato da una finita, <math>e</math> è irrazionale. Per una breve dimostrazione della frazione continua di <math>e</math>, vedere ''Cohn (2006)''.
<ref>[https://arxiv.org/pdf/math/0601660.pdf A Short Proof of the Simple Continued Fraction Expansion of e]</ref><ref>{{cite journalCita pubblicazione| last cognome= Cohn | first nome= Henry | journal rivista= [[American Mathematical Monthly]] | volume = 113 | issue numero= 1 | pages pp= 57–62 | publisher editore= [[Mathematical Association of America]] | year anno= 2006 | title titolo= A short proof of the simple continued fraction expansion of ''e'' | jstor = 27641837 | doi=10.2307/27641837}}</ref> Poichè la frazione continua di <math>e</math> non è periodica, questo dimostra anche che <math>e</math> non è radice di un polinomio di secondo grado a coefficienti razionali; in particolare, <math>e^2</math> è irrazionale.
==Dimostrazione di Fourier==
La dimostrazione più conosciuta è quella di [[Joseph Fourier]] procedendo [[dimostrazione per assurdo|per assurdo]],<ref>{{Cite bookCita libro| last1 cognome1= de Stainville | first1 nome1= Janot | year anno= 1815 | title titolo= Mélanges d'Analyse Algébrique et de Géométrie |trans-titletitolotradotto=A mixture of Algebraic Analysis and Geometry | publisher editore= Veuve Courcier | pages pp= 340–341}}</ref> che si basa sull'identità
: <math>e = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{n!}\cdot</math>
==Dimostrazioni alternative==
Si può ottenere un'altra dimostrazione <ref>{{CitationCita pubblicazione| last1 cognome1= MacDivitt | first1 nome1= A. R. G. | last2 cognome2= Yanagisawa | first2 nome2= Yukio | title titolo= An elementary proof that ''e'' is irrational | journal rivista= The Mathematical Gazette | volume = 71 | issue numero= 457 | pages pp= 217 | year anno= 1987 | publisher editore=Mathematical Association | place città= London | jstor = 3616765 | doi=10.2307/3616765}}</ref> da quella precedente notando che
:<math>(b+1)x=1+\frac1{b+2}+\frac1{(b+2)(b+3)}+\cdots<1+\frac1{b+1}+\frac1{(b+1)(b+2)}+\cdots=1+x,</math>
e questa disuguaglianza è equivalente a <math>bx<1</math>. Questo è ovviamente impossibile, poiché <math>b</math> e <math>x</math> sono numeri naturali.
Un'altra dimostrazione ancora<ref>{{cite journalCita pubblicazione| last cognome= Penesi | first nome= L. L. | year anno= 1953 | title titolo= Elementary proof that ''e'' is irrational | journal rivista= [[American Mathematical Monthly]] | publisher editore= [[Mathematical Association of America]] | volume = 60 | issue numero= 7 | pages pp= 474 | jstor = 2308411 | doi = 10.2307/2308411 }}</ref> <ref>Apostol, T. (1974). Mathematical analysis (2nd ed., Addison-Wesley series in mathematics). Reading, Mass.: Addison-Wesley.</ref> deriva dal fatto che
:<math>\frac1e=e^{-1}=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{n!}\cdot</math>
==Generalizzazioni==
Nel 1840, [[Joseph Liouville|Liouville]] pubblicò una dimostrazione dell'irrazionalità di <math>e^2</math> <ref>{{cite journalCita pubblicazione| last cognome= Liouville | first nome= Joseph | journal rivista= Journal de Mathématiques Pures et Appliquées | title titolo= Sur l'irrationalité du nombre ''e'' = 2,718… | series serie= 1 | volume = 5 | pages pp= 192 | year anno= 1840}}</ref> seguita dalla dimostrazione che quest'ultimo non è neanche una radice di un polinomio di secondo grado a coefficienti razionali.<ref>{{cite journalCita pubblicazione| last cognome= Liouville | first nome= Joseph | journal rivista= Journal de Mathématiques Pures et Appliquées | title titolo= Addition à la note sur l'irrationnalité du nombre ''e'' | series serie= 1 | volume = 5 | pages pp= 193–194 | year anno= 1840}}</ref> Questo ultimo risultato implica che <math>e^4</math> è irrazionale. Le sue dimostrazioni erano simili a quella di Fourier dell'irrazionalità di <math>e</math>. Nel 1891, [[Adolf Hurwitz|Hurwitz]] spiegò come è possibile dimostrare attraverso la stessa strategia che <math>e</math> non è una radice di un polinomio di terzo grado a coefficienti razionali.<ref>{{cite bookCita libro| last1 cognome1= Hurwitz | first1 nome1= Adolf | year anno= 1933 | origyear annooriginale= 1891 | title titolo= Mathematische Werke | volume = 2 | chapter capitolo= Über die Kettenbruchentwicklung der Zahl ''e'' | publisher editore= Birkhäuser | location città= Basel | pages pp= 129–133}}</ref> In particolare, <math>e^3</math> è irrazionale.
Più in generale, <math>e^q</math> è irrazionale per ogni <math>q</math> razionale diverso da zero.<ref>{{CitationCita pubblicazione| last1cognome1=Aigner | first1nome1=Martin | author1-link wkautore1= Martin Aigner | last2cognome2=Ziegler | first2nome2=Günter M. | author2-linkwkautore2=Günter M. Ziegler | titletitolo=[[Proofs from THE BOOK]] | publishereditore=[[Springer-Verlag]] | locationcittà=Berlin, New York | yearanno=1998|pagespp=27–36|isbn=978-3-642-00855-9|doi=10.1007/978-3-642-00856-6|editionedizione=4th}}.</ref>
==Note==
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