Operatore nabla: differenze tra le versioni

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{{Avvisounicode}}
{{F|matematica|luglio 2009}}
In [[matematica]], ed in particolare nel [[calcolo vettoriale]] e nell'[[analisi matematica]], il '''nabla''' indicato col simbolo <math>\mathbf{\nabla}</math> è un [[operatore differenziale]] [[Vettore (matematica)|vettoriale]]. Il simbolo è chiamato, molto raramente e solo nel mondo anglosassone, anche ''atled'' (''delta'' letto al contrario) a causa della sua forma a [[delta (lettera)|delta]] ( <math>\Delta</math>) rovesciato. Il nome più comunemente utilizzato nella letteratura anglosassone è però "del".
 
Il nabla è una convenzione matematica che consente di scrivere, con una notazione compatta, gli [[operatore differenziale|operatori differenziali]] [[matrice jacobiana|jacobiana]], [[gradiente]], [[divergenza]] e [[rotore (matematica)|rotore]].
 
*[[Gradiente]]:
:<math>\mathrmoperatorname{grad} \, f = \nabla f</math>
 
*[[Divergenza]]:
:<math> \mathrmoperatorname{div} \, \vec v = \nabla \cdot \vec v </math>
 
*[[Rotore (matematica)|Rotore]]:
:<math> \mathrmoperatorname{rot} \, \vec v = \nabla \times \vec v </math>
 
*[[Operatore di Laplace|Laplaciano]]:
 
== Coordinate sferiche ==
Le equazioni che trasformano le coordinate polari in coordinate cartesiane sono:
sono:
 
:<math>
\begin{cases} x=r\,\sin\theta\,\cos\phi\\
y=r\,\sin\theta\,\sin\phi \\
</math>
z= r\,\cos\theta\\
 
\end{cases}
:<math>
y=r\,\sin\theta\,\sin\phi
</math>
 
:<math>
z=r\,\cos\theta
</math>
 
\frac{\partial}{\partial\theta}\\
\frac{\partial}{\partial\phi}
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\sin\theta\,\cos\phi & \sin\theta\,\sin\phi & \cos\theta\\
r\,\cos\theta\,\cos\phi & r\,\cos\theta\,\sin\phi & -r\,\sin\theta\\
-r\,\sin\theta\,\sin\phi & r\,\sin\theta\,\cos\phi & 0
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{\partial}{\partial x}\\
\frac{\partial}{\partial y}\\
A=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\
0 & r & 0\\
0 & 0 & r\,\sin\theta
\end{pmatrix}
</math>
A^{-1}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\
0 & \frac{1}{r} & 0\\
0 & 0 & \frac{1}{r\,\sin\theta}
\end{pmatrix}
</math>
 
:<math>
b_{1}=\begin{pmatrix}\sin\theta\,\cos\phi\\
\sin\theta\,\sin\phi\\
\cos\theta
\end{pmatrix}
</math>
:<math>
b_{2}=\begin{pmatrix}\cos\theta\,\cos\phi\\
\cos\theta\,\sin\phi\\
-\sin\theta
\end{pmatrix}