Operatore momento angolare totale: differenze tra le versioni

Non congruenza di formule e di concetti
(Non congruenza di formule e di concetti)
Abbiamo visto che le componenti del momento angolare non commutano tra loro, ma tutti singolarmente commutano con l'operatore momento angolare al quadrato. Possiamo scegliere una sola componente (per esempio <math>\hat J_z</math>) che commuta con <math>\hat {\mathbf{J}}^2</math>, così lo stato che è [[autostato]] di entrambi gli operatori lo chiamiamo <math>|j,j_z \rangle</math>. Dobbiamo trovare quali sono gli autovalori <math>a, b</math> (a volte più propriamente indicati con <math>j</math>, <math>j_z</math>, oppure con <math>j</math>, <math>m_j</math>) simultanei di questi operatori:
 
:<math>\left\{\begin{matrix} \hat{ \mathbf{J}}^2 |j,m_j \rangle = \hbar^2 a |j,m_j \rangle \\
\hat J_z |j,m_j \rangle = \hbar b |j,m_j \rangle
\end{matrix}\right.
</math>
Il significato di <math>\hat J_{\pm}</math> è analogo a quello visto nel [[momento angolare orbitale]]. Vediamo come <math>\hat J_z</math> agisce sullo [[stato quantico|stato]] <math>\hat J_{\pm}|j,m_j \rangle</math>:
 
:<math>\hat J_z \left( \hat J_{\pm} |j,m_j \rangle \right) = \left([\hat J_z, \hat J_{\pm}] + \hat J_{\pm} \hat J_z \right) |j,m_j \rangle = (\hat J_{\pm} \hat J_z \pm \hbar \hat J_{\pm} ) |j , m_j \rangle = \hbar (b \pm \hbar1) \left(\hat J_{\pm} |j,m_j \rangle \right)</math>
 
cioè applicando <math>\hat J_+</math> l'autovalore di <math>\hat J_z</math> cioè ''b'' aumenta di <math>\hbar</math>, viceversa applicando <math>\hat J_-</math>, l'autovalore di <math>\hat J_z</math> viene diminuito di <math>\hbar</math>, da cui il nome di operatori di scala. Invece applicando <math>\hat {\mathbf{J}}^2</math>:
 
:<math>\hat{ \mathbf{J}}^2 \left( \hat J_{\pm} |j,m_j \rangle \right) = \hat J_{\pm} \hat{ \mathbf{J}}^2 |j,m_j \rangle = \hbar^2 a \hat J_{\pm}|j,m_j \rangle</math>
 
cioè l'applicazione degli operatori <math>\hat J_{\pm}</math> cambia l'[[autovalore]] di <math>\hat J_z</math>, ma non di <math>\hat {\mathbf{J}}^2</math>.
ciò implica che gli autovalori di questi operatori devono soddisfare:
 
:<math>-\sqrt a \le b \le \sqrt a</math>
 
cioè gli autovalori della proiezione del momento angolare totale ''b'' non possono superare quelli di <math>\hat{ \mathbf{J}}^2</math>, ''a'': fisicamente ciò significa che ''b'' assume il suo valore massimo quando <math>\hat {\mathbf{J}}^2</math> coincide con la direzione dell'asse ''z'', cioè la sua proiezione <math>\hat J_z</math> coincide con <math>\hat {\mathbf{J}}^2</math>, in tal caso <math>a = b</math>. Quindi l'autovalore di <math>\hat J_z</math> è limitato inferiormente e superiormente dai valori che può prendere <math>\hat {\mathbf{J}}^2</math>. Chiamiamo <math>b_{min}</math> il valore minimo e <math>b_{max}</math> il valore massimo che può assumere <math>\hat J_z</math>. Applicando successivamente gli operatori di scala <math>\hat J_+, \hat J_-</math>, si capisce che deve essere:
 
:<math>\hat J_+ |a,b_{max} \rangle = 0</math>
Ora applichiamo
 
:<math>\hat {\mathbf{J}}^2 |a,b_{max} \rangle = (\hat J_- \hat J_+ + \hat J_{z}^{2} + \hbar \hat J_z) |a, b_{max} \rangle = (b_{max}^{2} \hbar^2 + b_{max} \hbar ^2 )|a,b_{max} \rangle</math>
 
cioè:
 
:<math>\hbar ^2 a = (b_{max}^{2} + b_{max}) \hbar^2 = \hbar^2 b_{max} (b_{max} + 1)</math>
 
Quindi l'autovalore di <math>\hat {\mathbf{J}}^2</math> è <math>\hbar^2 a = b_{max}(ab_{max} + 1)</math>, dove ''a'' deve essere intero o semintero. Ora per quanto detto:
 
:<math>-\sqrt a < -b_{max} \le b \le b_{max} < \sqrt a</math>
 
Data la simmetria di cui <math>\hat{J_z}</math>deve godere rispetto al piano <math>xy</math>, si ha che b deve essere necessariamente o intero o semintero. Vi sono pertanto <math>(2b_{max} +1)</math>valori di ''b'', cioè <math>b = \{-b_{max}, -b_{max}+1, \dots , b_{max} - 1, b_{max} \}</math>.
e anche qui ''b'' deve essere intero o semintero, perché tutti i valori di ''b'' sono distanti <math>\hbar</math> uno dall'altro (ricordiamo che le grandezze quantistiche si misurano in unità di <math>\hbar</math>), dove se ''k'' è intero, fissato ''a'', vi sono (2k+1) valori di ''b'', cioè <math>b = \{-a, -a+1, \dots , a - 1, a \}</math> per cui se ''a'' è intero lo è anche ''b'' e se ''a'' è semintero, lo è anche ''b''. Si può dimostrare che gli autovalori ''a'' sono interi e quindi anche ''b'' sono interi: con questa scelta otteniamo infine per gli autovalori di <math>\hat {\mathbf{J}}^2</math>
 
Si ottiene quindi infine per gli autovalori di <math>\hat {\mathbf{J}}^2</math>
 
:<math>\hat {\mathbf{J}}^2 |j,m_j \rangle = \hbar^2 j(j+1) |j,m_j \rangle</math>
:<math>\hat J_z |j,m_j \rangle = m_j \hbar |j,m_j \rangle</math>
 
dove <math>j = 0, 1, \dots</math> è il [[numero quantico]] del momento angolare totale, che ricordiamo può essere intero o semintero, ed <math>m_j = \{-j, -j+1, \dots , j - 1, j \}</math> è il [[numero quantico]] della proiezione del momento angolare totale.
 
== Elementi di matrice ==
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