Differenze tra le versioni di "Equazione funzionale di Cauchy"

m
nessun oggetto della modifica
m
 
L''''equazione funzionale di Cauchy''' è l'[[equazione funzionale]]:
 
:<math> f(x+y)=f(x)+f(y).</math>
 
Una [[funzione (matematica)|funzione]] che soddisfa la suddetta equazione è definita [[funzione additiva|additiva]].
 
* Si osserva che
*:<math> f(a_1 + a_2 + \cdots + a_m) = f(a_1) + f(a_2 + a_3 + \cdots + a_m) \qquad \forall a_i \in \mathbb{Q} </math>
*:: <math> = f(a_1) + f(a_2) + f(a_3 + \cdots + a_m) </math>
*:::: <math> \vdots </math>
*:<math> f(0) = f(x) + f(-x) </math>
*Ma ponendo <math> x = y = 0 </math> si ricava che <math> f(0) = 2f(0) \to 0 = f(0) </math>, e quindi <math> f(-x) = -f(x) </math>, ossia <math> f(x) </math> è [[funzione dispari|dispari]].
*Di conseguenza, per ogni <math> q \in \mathbb{Q}, f(q) = cq </math>.
 
Si verifica facilmente, d'altronde, che tutte le funzioni di questa forma soddisfano effettivamente l'equazione iniziale. Vale infatti l'[[identità (matematica)|identità]]:
 
:<math>c(x + y) = cx + cy.</math>
 
==Equazioni analoghe==
Altre tre equazioni simili alla precedente vengono talvolta chiamate ''equazioni di Cauchy'', poiché è possibile ricondurle ad essa con opportune manipolazioni. Anche per queste equazioni esistono delle soluzioni esprimibili in forma semplice, ma sono necessarie delle assunzioni aggiuntive (come quelle elencate prima) per risolverle completamente. Nei paragrafi che seguono assumeremo la continuità.
 
=== Equazione <math>f(x + y) = f(x)f(y)</math> ===
 
Se esiste <math>a</math> tale che <math>f(a) = 0</math>, allora, ponendo <math>y=a</math>, si ottiene <math>f(x + a) = f(x)f(a) = 0</math>, e, dunque, <math>f(x) = 0</math> per ogni <math>x</math>, che è una soluzione dell'equazione. In tutti gli altri casi, deve valere <math>f(x) \neq 0</math> per ogni <math>x</math>. Inoltre, ponendo <math> x = y = \frac{t}{2}</math>, si ottiene che <math> f(t) = {f\left(\frac{t}{2}\right)}^2 > 0</math> per ogni <math>t</math>. Prendendo il [[logaritmo]] di entrambi i membri dell'equazione, si ottiene:
 
:<math>\ln f(x + y) = \ln f(x) + \ln f(y).</math>
 
Cioè, posto <math>\ln f(x) = g(x)</math>:
 
:<math>g(x + y) = g(x) + g(y),</math>
 
che, per l'ipotesi della continuità, è risolta da <math>g(x) = cx</math>, e quindi:
 
:<math>f(x) = e^{cx}.</math>
 
=== Equazione <math>f(xy) = f(x) + f(y)</math> ===
 
Posto <math>x = e^u</math>, <math>y = e^v</math>, <math>f(e^x) = g(x)</math>, l'equazione diventa:
 
:<math>f(e^{u + v}) = f(e^u) + f(e^v),</math>
 
ossia:
 
:<math>g(u + v) = g(u) + g(v),</math>
 
quindi <math>g(x) = cx</math> e, infine, <math>f(x) = c \ln x</math>.
 
=== Equazione <math>f(xy) = f(x)f(y)</math> ===
 
Se ci si limita a <math>x, y > 0</math>, allora, ponendo <math>x = e^u</math>, <math>y = e^v</math>, <math>f(e^u) = g(u)</math> si ottiene: <math>f(e^{u+v}) = f(e^u)f(e^v)</math>, ossia <math>g(u+v) = g(u)g(v)</math> che, per quanto visto precedentemente, ha l'unica soluzione continua <math>g(u) = e^{cu}</math> e quindi <math>f(x) = f(e^u) = g(u) = (e^u)^c = x^c</math>, oltre alla soluzione banale in cui <math>f(x) = 0</math> per ogni <math>x</math>.
Se si vuole risolvere l'equazione per ogni <math>x \neq 0</math>, <math>y \neq 0</math>, allora con le due sostituzioni <math>x = y = t</math> e <math>x = y = -t </math> (con <math>t > 0</math>) si ricava <math>f(t^2) = f^2(t)</math> e <math>f(t^2) = f^2(-t)</math>, da cui <math>f^2(t) = f^2(-t)</math> per ogni <math>t</math>. Allora, per ogni scelta di <math>t</math>, deve valere <math>f(-t) = f(t) = t^c</math> oppure <math>f(-t) = -f(t) = -t^c</math> (oltre, anche qui, al caso banale in cui <math>f(x) = 0</math> per ogni <math>x</math>). Supponendo la continuità, le soluzioni sono:
 
:<math>f(x) = {|x|}^c,</math>
:<math>f(x) = \sgn x \cdot {|x|}^c,</math>
:<math>f(x) = 0,</math>
 
dove <math>\sgn x</math> indica la [[funzione segno]], uguale a −1<math>-1</math> per <math>x < 0</math>, ada <math>1</math> per <math>x > 0</math>.
 
== Bibliografia ==