Funzione digamma: differenze tra le versioni

:<math>\psi_0(x) := \frac{\operatorname d}{\operatorname dx} \ln{\Gamma(x)}= \frac{\Gamma'(x)}{\Gamma(x)}.</math> .

La funzione digamma talora viene anche denotata con <math>\,\Psi(x)</math> e talora anche <math>\,\psi^0(x)</math>. Essa è collegata ai [[numero armonico|numeri armonici]] dalla uguaglianza

:<math>\,\psi_0(n) = H_{n-1}-\gamma</math>

dove <math>\,H_{n-1}</math> denota l<nowiki>'</nowiki>''<math>(n-1)''</math>-esimo [[numero armonico]] e <math>\gamma</math> è la ben nota [[costante di Eulero - Mascheroni]]. Tale relazione si dimostra dalla definizione alternativa di [[Gauss]] della funzione gamma

:<math>\Gamma\left(s\right)=\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{n!n^s}{s\left(s+1\right)\left(s+2\right)...\ldots\left(s+n\right)},</math>

:<math>\psi\left(s\right)=\frac{d}{ds}\lim_{n \rightarrow \infty}\left(\ln n! + s \ln n - \ln s - \ln \left(s+1\right)-\ln\left(s+2\right)-...\ldots-\ln\left(s+n\right)\right)</math>

:<math>\psi\left(s\right)=\lim_{n \rightarrow \infty}\left(\ln n - \frac{1}{s} -\frac{1}{s+1} -\frac{1}{s+2}-...\ldots-\frac{1}{s+n}\right)</math>

:<math>\psi\left(s\right)=\lim_{n \rightarrow \infty}\left(\ln n - \sum_{k=1}^{s+n}\left(\frac{1}{k}\right) + 1 + \frac{1}{2} +...\ldots+ \frac{1}{s-1} \right)</math>

:<math>\psi\left(s\right)=\lim_{n \rightarrow \infty}\left(\ln n - \sum_{k=1}^n\left(\frac{1}{k}\right)\right) + 1 + \frac{1}{2} +...\ldots+ \frac{1}{s-1} </math>

:<math>\psi\left(s\right)=-\gamma + H_{s-1}.</math>

:<math> \psi_0(z) = \psi\left(z\right) = - \gamma - \frac{1}{z} - \sum_{k=1}^{\infty} \left( \frac{1}{z+k} - \frac{1}{k} \right) .</math>