Identità di Legendre-de Polignac: differenze tra le versioni

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In [[teoria dei numeri]], l''''identità di Legendre-de Polignac''' (o anche solo '''identità di Legendre'''), da [[Adrien-Marie Legendre]] e [[Alphonse de Polignac]], fornisce l'esponente della maggiore potenza di un [[numero primo]] ''<math>p''</math> che divide il [[fattoriale]] ''<math>n''!,</math> dove ''<math>n'' &\ge; 1</math> è un [[numero intero|intero]].
 
{{tocleft}}
 
==L'identità==
Per ogni <math>p</math> numero primo ''p'' ede ogni <math>n</math> intero positivo ''n'', con <math>v_p(n)</math> indica l'esponente della maggiore potenza di un numero primo ''<math>p''</math> che divide ''<math>n''</math> (la [[Valutazione p-adica|valutazione ''p''-adica]] di ''<math>n''</math>). Allora
 
:<math>\upsilon_p(n!) = \sum_{j = 1}^\infty\left\lfloor\frac{n}{p^j}\right\rfloor,</math>
 
dove <math> \left\lfloor x \right\rfloor</math> rappresenta la [[parte intera (funzione)|parte intera]] di ''<math>x''.</math> Per ogni ''<math>j''</math> tale che <math>p^j>n</math>, si ha <math>\left \lfloor \frac{n}{p^j} \right \rfloor = 0.</math>
 
A ciò segue la disuguaglianza
 
:<math>{\displaystyle \upsilon _{p}(n!)\leq {\frac {n}{p-1}}}.</math>
 
=== Esempio ===
Per ''<math>n'' = 6,</math> si ha <math>{\displaystyle 6!=720=2^{4}\cdot 3^{2}\cdot 5^{1}}</math>. Gli esponenti <math>{\displaystyle \nu _{2}(6!)=4,\nu _{3}(6!)=2}</math> e <math>{\displaystyle \nu _{5}(6!)=1}</math> possono essere ottenuti dalla identità di Legendre in questo modo:
 
:<math>{\displaystyle {\begin{aligned}\nu _{2}(6!)&=\sum _{j=1}^{\infty }\left\lfloor {\frac {6}{2^{j}}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {6}{2}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {6}{4}}\right\rfloor =3+1,\\[3pt]\nu _{3}(6!)&=\sum _{j=1}^{\infty }\left\lfloor {\frac {6}{3^{j}}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {6}{3}}\right\rfloor =2,\\[3pt]\nu _{5}(6!)&=\sum _{j=1}^{\infty }\left\lfloor {\frac {6}{5^{j}}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {6}{5}}\right\rfloor =1.\end{aligned}}}</math>
 
=== Dimostrazione ===
Essendo <math>n!</math> il prodotto degli interi da <math>1</math> a ''<math>n,''</math> otteniamo almeno un fattore di ''<math>p''</math> in <math>n!</math> per ogni multiplo di ''<math>p''</math> in <math>{\displaystyle \{1,2,\dotsldots ,n\}},</math>, che sono in numero pari a <math display="inline">\left \lfloor \frac{n}{p} \right \rfloor</math>. Ogni multiplo di <math>p^2</math>apporta un ulteriore fattore di ''<math>p,''</math> ogni multiplo di <math>p^3</math> apporta ancora un altro fattore di ''<math>p,''</math> etcecc. La somma del numero di questi fattori produce la somma infinita per <math>v_p(n!)</math>.
 
== Forma alternativa ==
Si può riformulare l'identità di Legendre-de Polignac in termini dell'espansione in [[Notazione posizionale|base-''p'']] <math>p</math> di ''<math>n''.</math> Con <math>{\displaystyle s_{p}(n)}</math> si denota la somma delle cifre dell'espansione in base-'' <math>p''</math> di ''<math>n.''</math> Allora
 
:<math>{\displaystyle \nu _{p}(n!)={\frac {n-s_{p}(n)}{p-1}}.}.</math>
 
=== Esempio ===
Scrivendo ''<math>n'' = 6</math> in binario come 6<submath>6_{10</sub> }= 110<sub>2110_2,</submath> , abbiamo che <math>{\displaystyle s_{2}(6)=1+1+0=2} </math> e quindi
 
:<math>{\displaystyle \nu _{2}(6!)={\frac {6-2}{2-1}}=4.}</math>
 
Similmente, scrivendo ''<math>n'' = 6</math> in ternario come 6<submath>6_{10</sub> }= 20<sub>320_3,</submath> , abbiamo che <math>{\displaystyle s_{3}(6)=2+0=2}</math> e quindi
 
:<math>{\displaystyle \nu _{3}(6!)={\frac {6-2}{3-1}}=2.}</math>
 
=== Dimostrazione ===
Scrivendo <math>n=n_{\ell }p^{\ell }+\cdots +n_{1}p+n_{0}</math> in base ''<math>p''</math> si ottiene che <math>\textstyle \left\lfloor {\frac {n}{p^{j}}}\right\rfloor =n_{\ell }p^{{\ell -j}}+\cdots +n_{{j+1}}p+n_{j} .</math> . Allora
 
:<math>{\begin{aligned}\nu _{p}(n!)&=\sum _{{j=1}}^{{\ell }}\left\lfloor {\frac {n}{p^{j}}}\right\rfloor \\&=\sum _{{j=1}}^{{\ell }}\left(n_{\ell }p^{{\ell -j}}+\cdots +n_{{j+1}}p+n_{j}\right)\\&=\sum _{{j=1}}^{{\ell }}\sum _{{i=j}}^{{\ell }}n_{i}p^{{i-j}}\\&=\sum _{{i=1}}^{{\ell }}\sum _{{j=1}}^{{i}}n_{i}p^{{i-j}}\\&=\sum _{{i=1}}^{{\ell }}n_{i}\cdot {\frac {p^{i}-1}{p-1}}\\&=\sum _{{i=0}}^{{\ell }}n_{i}\cdot {\frac {p^{i}-1}{p-1}}\\&={\frac {1}{p-1}}\sum _{{i=0}}^{{\ell }}\left(n_{i}p^{i}-n_{i}\right)\\&={\frac {1}{p-1}}\left(n-s_{p}(n)\right).\end{aligned}}</math>
 
== Applicazioni ==
L'identità di Legendre-de Polignac è utilizzata per dimostrare il [[teorema di Kummer]]. Può anche essere utilizzata per dimostrare che se ''<math>n''</math> è un intero positivo, allora <math>4</math> divide <math>{\binom {2n}{n}}</math> se e solo se ''<math>n''</math> non è una potenza di <math>2.</math>
 
Segue all'identità di Legendre-de Polignac che la [[Funzione esponenziale p-adica|funzione esponenziale ''p''-adica]] ha raggio di convergenza <math>p^{{-1/(p-1)}}</math>.