Identità di Legendre-de Polignac: differenze tra le versioni
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In [[teoria dei numeri]], l''''identità di Legendre-de Polignac''' (o anche solo '''identità di Legendre'''), da [[Adrien-Marie Legendre]] e [[Alphonse de Polignac]], fornisce l'esponente della maggiore potenza di un [[numero primo]]
==L'identità==
Per ogni <math>p</math> numero primo
:<math>\upsilon_p(n!) = \sum_{j = 1}^\infty\left\lfloor\frac{n}{p^j}\right\rfloor,</math>
dove <math> \left\lfloor x \right\rfloor</math> rappresenta la [[parte intera (funzione)|parte intera]] di
A ciò segue la disuguaglianza
:<math>{\displaystyle \upsilon _{p}(n!)\leq {\frac {n}{p-1}}}.</math>
=== Esempio ===
Per
:<math>{\displaystyle {\begin{aligned}\nu _{2}(6!)&=\sum _{j=1}^{\infty }\left\lfloor {\frac {6}{2^{j}}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {6}{2}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {6}{4}}\right\rfloor =3+1,\\[3pt]\nu _{3}(6!)&=\sum _{j=1}^{\infty }\left\lfloor {\frac {6}{3^{j}}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {6}{3}}\right\rfloor =2,\\[3pt]\nu _{5}(6!)&=\sum _{j=1}^{\infty }\left\lfloor {\frac {6}{5^{j}}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {6}{5}}\right\rfloor =1.\end{aligned}}}</math>
=== Dimostrazione ===
Essendo <math>n!</math> il prodotto degli interi da <math>1</math> a
== Forma alternativa ==
Si può riformulare l'identità di Legendre-de Polignac in termini dell'espansione in [[Notazione posizionale|base
:<math>{\displaystyle \nu _{p}(n!)={\frac {n-s_{p}(n)}{p-1}}
=== Esempio ===
Scrivendo
:<math>{\displaystyle \nu _{2}(6!)={\frac {6-2}{2-1}}=4.}</math>
Similmente, scrivendo
:<math>{\displaystyle \nu _{3}(6!)={\frac {6-2}{3-1}}=2.}</math>
=== Dimostrazione ===
Scrivendo <math>n=n_{\ell }p^{\ell }+\cdots +n_{1}p+n_{0}</math> in base
:<math>{\begin{aligned}\nu _{p}(n!)&=\sum _{{j=1}}^{{\ell }}\left\lfloor {\frac {n}{p^{j}}}\right\rfloor \\&=\sum _{{j=1}}^{{\ell }}\left(n_{\ell }p^{{\ell -j}}+\cdots +n_{{j+1}}p+n_{j}\right)\\&=\sum _{{j=1}}^{{\ell }}\sum _{{i=j}}^{{\ell }}n_{i}p^{{i-j}}\\&=\sum _{{i=1}}^{{\ell }}\sum _{{j=1}}^{{i}}n_{i}p^{{i-j}}\\&=\sum _{{i=1}}^{{\ell }}n_{i}\cdot {\frac {p^{i}-1}{p-1}}\\&=\sum _{{i=0}}^{{\ell }}n_{i}\cdot {\frac {p^{i}-1}{p-1}}\\&={\frac {1}{p-1}}\sum _{{i=0}}^{{\ell }}\left(n_{i}p^{i}-n_{i}\right)\\&={\frac {1}{p-1}}\left(n-s_{p}(n)\right).\end{aligned}}</math>
== Applicazioni ==
L'identità di Legendre-de Polignac è utilizzata per dimostrare il [[teorema di Kummer]]. Può anche essere utilizzata per dimostrare che se
Segue all'identità di Legendre-de Polignac che la [[Funzione esponenziale p-adica|funzione esponenziale ''p''-adica]] ha raggio di convergenza <math>p^{{-1/(p-1)}}</math>.
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