Dato un polinomio B in forma di Bernstein di grado n
B
(
t
)
=
∑
i
=
0
n
β
i
b
i
,
n
(
t
)
,
{\displaystyle B(t)=\sum _{i=0}^{n}\beta _{i}b_{i,n}(t),}
dove b è un polinomio base di Bernstein , il polinomio al punto t 0 può essere valutato con la relazione di ricorrenza
β
i
(
0
)
:=
β
i
,
i
=
0
,
…
,
n
,
{\displaystyle \beta _{i}^{(0)}:=\beta _{i}{\mbox{ , }}i=0,\ldots ,n,}
β
i
(
j
)
:=
β
i
(
j
−
1
)
(
1
−
t
0
)
+
β
i
+
1
(
j
−
1
)
t
0
,
i
=
0
,
…
,
n
−
j
,
j
=
1
,
…
n
,
{\displaystyle \beta _{i}^{(j)}:=\beta _{i}^{(j-1)}(1-t_{0})+\beta _{i+1}^{(j-1)}t_{0}{\mbox{ , }}i=0,\ldots ,n-j{\mbox{ , }}j=1,\ldots n,}
con
B
(
t
0
)
=
β
0
(
n
)
.
{\displaystyle B(t_{0})=\beta _{0}^{(n)}.}
Nel calcolo manuale è utile scrivere i coefficienti in uno schema triangolare del tipo:
β
0
=
β
0
(
0
)
β
0
(
1
)
β
1
=
β
1
(
0
)
⋱
⋮
⋮
β
0
(
n
)
β
n
−
1
=
β
n
−
1
(
0
)
β
n
−
1
(
1
)
β
n
=
β
n
(
0
)
{\displaystyle {\begin{matrix}\beta _{0}&=\beta _{0}^{(0)}&&&\\&&\beta _{0}^{(1)}&&\\\beta _{1}&=\beta _{1}^{(0)}&&&\\&&&\ddots &\\\vdots &&\vdots &&\beta _{0}^{(n)}\\&&&&\\\beta _{n-1}&=\beta _{n-1}^{(0)}&&&\\&&\beta _{n-1}^{(1)}&&\\\beta _{n}&=\beta _{n}^{(0)}&&&\\\end{matrix}}}
Nella scelta di un punto t 0 per cui calcolare il polinomio di Bernstein, si possono usare le diagonali dello schema triangolare per costruire una divisione del polinomio.
B
(
t
)
=
∑
i
=
0
n
β
i
(
0
)
b
i
,
n
(
t
)
,
∈
[
0
,
1
]
,
{\displaystyle B(t)=\sum _{i=0}^{n}\beta _{i}^{(0)}b_{i,n}(t)\qquad {\mbox{ , }}\in [0,1],}
fino a
B
1
(
t
)
=
∑
i
=
0
n
β
0
(
i
)
b
i
,
n
(
t
t
0
)
,
∈
[
0
,
t
0
]
{\displaystyle B_{1}(t)=\sum _{i=0}^{n}\beta _{0}^{(i)}b_{i,n}\left({\frac {t}{t_{0}}}\right)\qquad {\mbox{ , }}\in [0,t_{0}]}
e
B
2
(
t
)
=
∑
i
=
0
n
β
n
−
i
(
i
)
b
i
,
n
(
t
−
t
0
1
−
t
0
)
,
∈
[
t
0
,
1
]
.
{\displaystyle B_{2}(t)=\sum _{i=0}^{n}\beta _{n-i}^{(i)}b_{i,n}\left({\frac {t-t_{0}}{1-t_{0}}}\right)\qquad {\mbox{ , }}\in [t_{0},1].}
Si vuole calcolare il valore del polinomio di Bernstein di grado 2 con i coefficienti:
β
0
(
0
)
=
β
0
{\displaystyle \beta _{0}^{(0)}=\beta _{0}}
β
1
(
0
)
=
β
1
{\displaystyle \beta _{1}^{(0)}=\beta _{1}}
β
2
(
0
)
=
β
2
{\displaystyle \beta _{2}^{(0)}=\beta _{2}}
nel punto t 0 .
Si avvia la ricorsione con:
β
0
(
1
)
=
β
0
(
0
)
(
1
−
t
0
)
+
β
1
(
0
)
t
0
=
β
0
(
1
−
t
0
)
+
β
1
t
0
{\displaystyle \beta _{0}^{(1)}=\beta _{0}^{(0)}(1-t_{0})+\beta _{1}^{(0)}t_{0}=\beta _{0}(1-t_{0})+\beta _{1}t_{0}}
β
1
(
1
)
=
β
1
(
0
)
(
1
−
t
0
)
+
β
2
(
0
)
t
0
=
β
1
(
1
−
t
0
)
+
β
2
t
0
{\displaystyle \beta _{1}^{(1)}=\beta _{1}^{(0)}(1-t_{0})+\beta _{2}^{(0)}t_{0}=\beta _{1}(1-t_{0})+\beta _{2}t_{0}}
e alla seconda iterazione la ricorsione termina con:
β
0
(
2
)
=
β
0
(
1
)
(
1
−
t
0
)
+
β
1
(
1
)
t
0
=
β
0
(
1
−
t
0
)
(
1
−
t
0
)
+
β
1
t
0
(
1
−
t
0
)
+
β
1
(
1
−
t
0
)
t
0
+
β
2
t
0
t
0
=
β
0
(
1
−
t
0
)
2
+
β
1
2
t
0
(
1
−
t
0
)
+
β
2
t
0
2
{\displaystyle {\begin{matrix}\beta _{0}^{(2)}&=&\beta _{0}^{(1)}(1-t_{0})+\beta _{1}^{(1)}t_{0}\\\ &=&\beta _{0}(1-t_{0})(1-t_{0})+\beta _{1}t_{0}(1-t_{0})+\beta _{1}(1-t_{0})t_{0}+\beta _{2}t_{0}t_{0}\\\ &=&\beta _{0}(1-t_{0})^{2}+\beta _{1}2t_{0}(1-t_{0})+\beta _{2}t_{0}^{2}\\\end{matrix}}}
che è il polinomio di Bernstein desiderato di grado 2 .
![{\displaystyle B(t)=\sum _{i=0}^{n}\beta _{i}^{(0)}b_{i,n}(t)\qquad {\mbox{ , }}\in [0,1],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31d0ba5cd1e22ab53d9a22594b7a722e9e931c9e)
![{\displaystyle B_{1}(t)=\sum _{i=0}^{n}\beta _{0}^{(i)}b_{i,n}\left({\frac {t}{t_{0}}}\right)\qquad {\mbox{ , }}\in [0,t_{0}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e5b29a84f7ddedd9a759e438af4a7ae190cc2a1)
![{\displaystyle B_{2}(t)=\sum _{i=0}^{n}\beta _{n-i}^{(i)}b_{i,n}\left({\frac {t-t_{0}}{1-t_{0}}}\right)\qquad {\mbox{ , }}\in [t_{0},1].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d70b319c386ca4fc3ec89018b2fcb419f5d35004)
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