In geometria, una ceviana è genericamente un segmento che congiunge un vertice del triangolo al suo lato opposto, o al suo prolungamento; mentre con retta ceviana si intende per estensione la retta su cui giace.

Particolarmente importanti sono le ceviane concorrenti in un unico punto, detto appunto ceviano – le cui condizioni di sufficienza sono dettate dal teorema di Ceva – designando sui lati opposti anche tre punti che sono i vertici del relativo triangolo ceviano il cui circumcerchio è detto cerchio ceviano.

Lunghezza modifica

 
Un triangolo con una ceviana di lunghezza  

Teorema di Stewart modifica

La lunghezza di una ceviana può essere calcolata con il teorema di Stewart. Nella figura, la lunghezza della ceviana   è data dalla formula:

 

Mediana modifica

La ceviana può essere una mediana. In questo caso la sua lunghezza è data dalla formula:

 

oppure

 

da cui

 

In questo caso

 

Bisettrice modifica

La ceviana può essere una bisettrice. In questo caso la sua lunghezza è data dalla formula:

 

e[1]

 

e

 

dove   è il semiperimetro.

Il lato di lunghezza   è diviso secondo la proporzione  .

Altezza modifica

La ceviana può essere una altezza del triangolo. In questo caso la sua lunghezza è data dalla formula:

 

e

 

dove   è il semiperimetro.

Ceviane concorrenti modifica

 
O è il punto ceviano e AA', BB' e CC' sono le ceviane

Tre ceviane concorrenti individuano un punto ceviano che può essere sia interno che esterno al perimetro del triangolo; nel primo caso anche tutte e tre le ceviane sono interne alla figura, invece quando è esterno solo una rimane interna e lo raggiunge solo se prolungata, mentre le altre due incrociano direttamente il punto e intersecano i prolungamenti dei lati.

 
O è il punto ceviano e AA', BB' e CC' sono le ceviane

È possibile determinare anche la lunghezza delle ceviane concorrenti avendo coordinate trilineari (α, β, γ) del punto di concorrenza, le lunghezze dei rispettivi lati a, b e c i lati del triangolo, attraverso la seguente formula:

 

dove lx indica il lato e ωx la coordinata trilineare relativa del punto.

Il punto di concorrenza inoltre segna sulle tre ceviane tre rapporti ri tra la sua distanza dal vertice I e il punto di intersezione col lato opposto:

 ;  ;  

Per questi rapporti valgono le seguenti relazioni di somme e prodotto:

 
 

i cui valori sono rispettivamente ≥6 e a ≥8.[2]

Note modifica

  1. ^ Johnson, Roger A., Advanced Euclidean Geometry, Dover Publ., 2007 (orig. 1929), p. 70.
  2. ^ Honsberger. Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry. Washington, Math. Assoc. Amer. 1995 pp. 138-141

Collegamenti esterni modifica

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