Estensione di Galois

In matematica, un'estensione di Galois è un'estensione algebrica $E/F$ che soddisfa le condizioni descritte qui sotto. Il senso è che un'estensione di Galois ha un gruppo di Galois e obbedisce al teorema fondamentale della teoria di Galois. La teoria di Galois si occupa essenzialmente dello studio delle estensioni di Galois.

Definizione

L'estensione $E/F$ si dice di Galois se il campo fisso del gruppo $\mathrm {Aut} (E/F)$ degli $F$-automorfismi di $E$ è esattamente il campo di base $F$, in questo caso il gruppo $\mathrm {Aut} (E/F)$ è detto gruppo di Galois e si indica con $\mathrm {Gal} (E/F)$.

Un risultato di Emil Artin permette di costruire estensioni di Galois nel modo seguente. Se $E$ è un campo assegnato e $G$ è un gruppo finito di automorfismi di $E$, allora $E/F$ è un'estensione di Galois, e $F$ è il campo fisso di $G$.

Caratterizzazione delle estensioni di Galois

Un importante teorema di Emil Artin asserisce che un'estensione finita $E/F$ è di Galois se, e solo se sussiste una delle seguenti condizioni equivalenti:

• $E/F$ è un'estensione normale e separabile;
• $E$ è il campo di spezzamento di un polinomio separabile a coefficienti in $F$;
• $[E:F]=|\mathrm {Aut} (E/F)|$, ossia il grado dell'estensione è uguale all'ordine del gruppo degli automorfismi di $E/F$.

Se si toglie la richiesta della finitezza dell'estensione $E/F$ tale risultato si generalizza e si ha che $E/F$ è di Galois se e solo se sussiste una delle seguenti condizioni equivalenti:

• $E/F$ è un'estensione normale e separabile;
• $E$ è il campo di spezzamento di una famiglia di polinomi separabili a coefficienti in $F$.

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Estensione di Galois / Estensione di Galois (altra versione), su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Estensione di Galois, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.