Invarianza (matematica)

In matematica un oggetto (funzione, insieme, punto, ...) si dice invariante rispetto o sotto una trasformazione se esso rimane inalterato dopo l'azione di tale trasformazione. Il concetto di invarianza è molto simile a quello di punto fisso.

Altrimenti detto, dato un insieme $X$ con una relazione d'equivalenza, un invariante è una funzione $f:X\to Y$ che sia costante su ogni singola classe: il suo valore non dipende dal rappresentante scelto. Si dice anche che $f$ può scendere al quoziente. Tale definizione generalizza la precedente, cui ci si può riportare ponendo come relazione d'equivalenza "c'è una trasformazione che porta l'elemento $a$ nell'elemento $b$".

In teoria delle categorie, ogni funtore definisce un invariante, ma non ogni invariante è funtoriale.

In analisi complessa ci sono delle definizioni accessorie: un insieme si dice invariante in avanti sotto la mappa $f$ se $f(X)=X$, invariante all'indietro se $f^{-1}(X)=X$ e completamente invariante se è entrambe le cose.

Esempi

• Il modulo di un numero complesso sotto coniugazione complessa
• Il grado di un polinomio sotto trasformazione lineare delle variabili
• Una funzione pari sotto la trasformazione che porta un numero $x$ nel suo opposto $-x$
• La misura di Lebesgue di un sottoinsieme reale sotto una traslazione
• La varianza di una variabile aleatoria sotto l'addizione di una costante
• Gli insiemi di Fatou e di Julia di una funzione olomorfa $f$ sono completamente invarianti sotto $f$

Voci correlate

• Punto fisso
• Simmetria (matematica)
• Invariante topologico
• Sistema dinamico lineare stazionario
• Teoria degli invarianti

Collegamenti esterni

• (EN) invariant, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
• (EN) Eric W. Weisstein, Invarianza, su MathWorld, Wolfram Research.

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