Lemma di Gauss (teoria dei numeri)

In teoria dei numeri, il lemma di Gauss, che ha preso il nome da Carl Friedrich Gauss, è un teorema utilizzato in alcune dimostrazioni della reciprocità quadratica.

Per ogni primo dispari $p$, sia $a$ un intero coprimo con $p$. Si considerino gli interi:

$a,2a,3a,\ldots ,{\frac {p-1}{2}}a$

e i loro residui modulo $p$ ridotti nell'intervallo $\left[-{\frac {p}{2}},{\frac {p}{2}}\right]$. Sia $s$ il numero di questi residui che sono negativi. Allora:

$\left({\frac {a}{p}}\right)=(-1)^{s},$

dove $\left({\frac {a}{p}}\right)$ è il simbolo di Legendre. Da un punto di vista piuttosto sofisticato, ciò rappresenta un caso di trasferimento.

Dimostrazione

Per il criterio di Eulero si sa che

$\left({\frac {a}{p}}\right)=a^{\frac {p-1}{2}}{\pmod {p}}$

moltiplicando entrambi i membri per il fattoriale di ${\frac {p-1}{2}}$

$\left({\frac {a}{p}}\right)\left({\frac {p-1}{2}}\right)!=\prod _{n=1}^{\frac {p-1}{2}}an{\pmod {p}}$

consideriamo adesso i residui di $an$ ridotti nell'intervallo $\left[-{\frac {p}{2}},{\frac {p}{2}}\right]$. Allora:

• non ci sono due residui uguali; infatti se

$ak_{1}=ak_{2}{\pmod {p}}$

allora $p|k_{1}-k_{2}$, ed essendo $k_{1},k_{2}<p$, ciò e possibile solo se $k_{1}=k_{2}$

• non ci sono due residui opposti; infatti se

$ak_{1}=-ak_{2}{\pmod {p}}$

allora $p|k_{1}+k_{2}$ ma essendo $k_{1},k_{2}<{\frac {p}{2}}$ ciò è impossibile.

Di conseguenza i valori assoluti dei residui $an$ sono tutti diversi e nell'intervallo $\left[1,{\frac {p-1}{2}}\right]$, dunque per il prodotto di detti residui vale

$\prod _{n=1}^{\frac {p-1}{2}}an=\left({\frac {p-1}{2}}\right)!\left(-1\right)^{s}{\pmod {p}}$

dove $s$ è il numero dei residui negativi, quindi

$\left({\frac {a}{p}}\right)\left({\frac {p-1}{2}}\right)!=\left({\frac {p-1}{2}}\right)!\left(-1\right)^{s}{\pmod {p}}$

e semplificando per il fattoriale di ${\frac {p-1}{2}}$ si ottiene la tesi:

$\left({\frac {a}{p}}\right)=\left(-1\right)^{s}$

Bibliografia

• Harold Davenport, Aritmetica superiore, Bologna, Zanichelli, 1994, ISBN 88-08-09154-6.
• Tom M. Apostol, Introduction to Analytic Number Theory, New York, Springer-Verlag, 1976, ISBN 0-387-90163-9.
• Trygve Nagell, Introduction to number theory, 2ª ed., New York, Chelsea, 2001, ISBN 0-8218-2833-9.

Voci correlate

• Criterio di Eulero
• Reciprocità quadratica
• Simbolo di Legendre

Collegamenti esterni

• (EN) Gauss's Lemma - La pagina di MathWorld sul lemma di Gauss.