Numero poligonale

In matematica, un numero poligonale è un numero figurato che può essere disposto a raffigurare un poligono regolare.

Introduzione

Gli antichi matematici scoprirono che alcuni numeri potevano essere raffigurati in determinati modi quando rappresentati da semi o sassolini. Il numero 10, ad esempio, può formare un triangolo:

ed è quindi un numero triangolare, ma non può formare un quadrato, al contrario del numero 9, che è per l'appunto un numero quadrato (o quadrato perfetto)

Alcuni numeri, come 36, che possono essere rappresentati sia come quadrati che come triangoli, prendono il nome di numeri quadrati triangolari:

In modo analogo sono definiti i numeri pentagonali, esagonali, e, in generale, s-gonali. In questi casi, però, il diagramma che si ottiene non è più altamente compatto, come nei casi di poligoni con tre o quattro lati.
Indicando con $P_{s}(n)$ l’n-esimo numero s-gonale, si definisce in generale
$P_{s}(1)=1$ e $P_{s}(2)=s$ qualunque sia s, ovvero il secondo numero della serie dei numeri s-gonali è pari al numero dei vertici (o dei lati) del poligono.

I successivi numeri s-gonali si ottengono prolungando di un punto due lati consecutivi del poligono e aggiungendo poi i restanti lati (tutti della stessa lunghezza) fra questi. Nei seguenti schemi, il passaggio da un numero al successivo, è indicato con pallini rossi.

Numeri triangolari

L’n-esimo numero triangolare T(n) si ottiene sommando fra loro i primi n numeri naturali:

$T(n)=1+2+3+\ldots +n={\frac {n(n+1)}{2}}={\binom {n+1}{2}}$ (formula di Gauss).

I numeri triangolari possono essere ottenuti in modo ricorsivo:

$T(n)=T(n-1)+n$ per $n>1$ (ricordando che $T(1)=1$).

Numeri quadrati

L’n-esimo numero quadrato Q(n) si ottiene sommando fra loro i primi n numeri dispari:

$Q(n)=1+3+5+\ldots +(2n-1)=n^{2}$.

I numeri quadrati possono essere ottenuti in modo ricorsivo:

$Q(n)=Q(n-1)+(2n-1)$ per $n>1$ ($Q(1)=1$)

Vale l'identità

$Q(n)=T(n)+T(n-1)$

ovvero ogni quadrato perfetto può essere ottenuto sommando due numeri triangolari consecutivi. L'uguaglianza può essere facilmente dimostrata tramite la formula di Gauss. Lo stesso risultato può essere dedotto dalla figura seguente in cui il quadrato è stato diviso in due triangoli, uno di lato pari a quello del quadrato (contiene la diagonale), e l'altro col lato più corto di uno.

Numeri pentagonali

L’n-esimo numero pentagonale $P_{5}(n)$ si ottiene costruendo un nuovo pentagono partendo dal precedente, aggiungendo un punto a due lati adiacenti e costruendo ex novo gli altri tre lati, e contando tutti i punti, vecchi e nuovi. In pratica $P_{5}(n)$ si ottiene sommando a $P_{5}(n-1)$ i tre nuovi lati di $n$ punti per un totale di $3n-2$ punti:

$P_{5}(n)=P_{5}(n-1)+(3n-2)$

Sviluppando all'indietro, sostituendo ogni numero pentagonale in funzione del precedente:

$P_{5}(n)=3(1+2+3+\ldots +(n-1)+n)-2n=3{\frac {n(n+1)}{2}}-2n={\frac {1}{2}}n(3n-1)$

Che è equivalente alla:

$P_{5}(n)=1+4+7+10+\ldots +(3n-2)$

Dalla

$P_{5}(n)={\frac {1}{2}}n(3n-1)$

con semplici passaggi si ottiene:

$P_{5}(n)=n^{2}+{\frac {n(n-1)}{2}}=Q(n)+T(n-1)=T(n)+2T(n-1)$

Ovvero qualunque numero pentagonale si può esprimere in funzione di numeri triangolari.

Numeri esagonali

Con ragionamenti analoghi a quelli effettuati sopra si ottengono le identità:

$P_{6}(n)=1+5+9+\ldots +(4n-3)$

$P_{6}(n)={\frac {4n^{2}-2n}{2}}=n(2n-1)$

$P_{6}(n)=P_{6}(n-1)+(4n-3)$

$P_{6}(n)=P_{5}(n)+T(n-1)=Q(n)+2T(n-1)=T(n)+3T(n-1)$

Formule generali

Se s è il numero di lati di un poligono, la formula per l'n-esimo numero s-gonale si ottiene aggiungendo al precedente numero s-gonale $(s-2)$ lati lunghi $n$, per un totale di $(s-2)(n-1)+1$ punti, ovvero

$P_{s}(n)=P_{s}(n-1)+(s-2)(n-1)+1$

Si dimostra facilmente che ciò equivale a

$P_{s}(n)={{(s-2)n^{2}-(s-4)n} \over 2}.$

Generalizzando le formule ottenute per i numeri pentagonali ed esagonali, si ottengono anche le seguenti identità

$P_{s}(n)=P_{s-1}(n)+T(n-1)$

$P_{s}(n)=P_{s-k}(n)+kT(n-1)\ \forall \ k\leq \;s-3$
e quindi

$P_{s}(n)=T(n)+(s-3)T(n-1)$
Siccome

$T(n)=T(n-1)+n$, allora

$P_{s}(n)=(s-2)T(n-1)+n$

Tabella dei primi numeri s-gonali

Quando possibile, nella tabella, le formule generatrici sono state semplificate.

Nome	Formula	n=1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
Triangolare	½n(n + 1)	1	3	6	10	15	21	28	36	45	55	66	78	91
Quadrato	n2	1	4	9	16	25	36	49	64	81	100	121	144	169
Pentagonale	½n(3n - 1)	1	5	12	22	35	51	70	92	117	145	176	210	247
Esagonale	n(2n - 1)	1	6	15	28	45	66	91	120	153	190	231	276	325
Ettagonale	½n(5n - 3)	1	7	18	34	55	81	112	148	189	235	286	342	403
Ottagonale	n(3n - 2)	1	8	21	40	65	96	133	176	225	280	341	408	481
Ennagonale	½n(7n - 5)	1	9	24	46	75	111	154	204	261	325	396	474	559
Decagonale	n(4n - 3)	1	10	27	52	85	126	175	232	297	370	451	540	637
11-gonale	½n(9n - 7)	1	11	30	58	95	141	196	260	333	415	506	606	715
12-gonale	n(5n - 4)	1	12	33	64	105	156	217	288	369	460	561	672	793
13-gonale	½n(11n - 9)	1	13	36	70	115	171	238	316	405	505	616	738	871
14-gonale	n(6n - 5)	1	14	39	76	125	186	259	344	441	550	671	804	949
15-gonale	½n(13n - 11)	1	15	42	82	135	201	280	372	477	595	726	870	1027
16-gonale	n(7n - 6)	1	16	45	88	145	216	301	400	513	640	781	936	1105
17-gonale	½n(15n - 13)	1	17	48	94	155	231	322	428	549	685	836	1002	1183
18-gonale	n(8n - 7)	1	18	51	100	165	246	343	456	585	730	891	1068	1261
19-gonale	½n(17n - 15)	1	19	54	106	175	261	364	484	621	775	946	1134	1339
20-gonale	n(9n - 8)	1	20	57	112	185	276	385	512	657	820	1001	1200	1417
21-gonale	½n(19n - 17)	1	21	60	118	195	291	406	540	693	865	1056	1266	1495
22-gonale	n(10n - 9)	1	22	63	124	205	306	427	568	729	910	1111	1332	1573
23-gonale	½n(21n - 19)	1	23	66	130	215	321	448	596	765	955	1166	1398	1651
24-gonale	n(11n - 10)	1	24	69	136	225	336	469	624	801	1000	1221	1464	1729
25-gonale	½n(23n - 21)	1	25	72	142	235	351	490	652	837	1045	1276	1530	1807
26-gonale	n(12n - 11)	1	26	75	148	245	366	511	680	873	1090	1331	1596	1885
27-gonale	½n(25n - 23)	1	27	78	154	255	381	532	708	909	1135	1386	1662	1963
28-gonale	n(13n - 12)	1	28	81	160	265	396	553	736	945	1180	1441	1728	2041
29-gonale	½n(27n - 25)	1	29	84	166	275	411	574	764	981	1225	1496	1794	2119
30-gonale	n(14n - 13)	1	30	87	172	285	426	595	792	1017	1270	1551	1860	2197

Formula inversa

Per un dato numero s-gonale x, è possibile trovare n mediante la formula:

$n={\frac {{\sqrt {8(s-2)x+(s-4)^{2}}}+s-4}{2(s-2)}}.$

Bibliografia

• I numeri poligonali su MathWorld, su mathworld.wolfram.com.

Voci correlate

• Numero figurato
• Numero poligonale centrato
• Numero poligonale centrale
• Numero piramidale
• Numero tetraedrico
• Quadrato perfetto
• Tetraktys

Collegamenti esterni

• (EN) polygonal number, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
• (EN) Eric W. Weisstein, Numero poligonale, su MathWorld, Wolfram Research.