Potenziale di Riesz

Nel calcolo frazionario, il potenziale di Riesz è un potenziale che deve il nome al suo scopritore, il matematico ungherese Marcel Riesz. In un certo senso, il potenziale di Riesz definisce un inverso di una potenza dell'operatore di Laplace nello spazio euclideo. Esso generalizza l'integrale di Riemann–Liouville in più dimensioni.

Definizione

Se $0<\alpha <n$, allora il potenziale di Riesz $I_{\alpha }f$ di una funzione localmente integrabile $f$ su $\mathbb {R} ^{n}$ è la funzione definita come

$(I_{\alpha }f)(x)={\frac {1}{c_{\alpha }}}\int _{{\mathbb {R} }^{n}}{\frac {f(y)}{|x-y|^{n-\alpha }}}\,\mathrm {d} y$

dove la costante è data da

$c_{\alpha }=\pi ^{n/2}2^{\alpha }{\frac {\Gamma (\alpha /2)}{\Gamma ((n-\alpha )/2)}}.$

Questo integrale singolare è ben definito se all'infinito $f$ decade sufficientemente veloce, in particolare se $f\in \,$L^p(Rⁿ) dove $1\leq p<n/\alpha$. In effetti, per ogni $p\geq 1$ ($p>1$ è classico, grazie a Sobolev, mentre per $p=1$ vedere (Schikorra, Spector & Van Schaftingen))), la velocità di decadimento di $f$ e e quella di $I_{\alpha }f$ sono collegate da una disuguaglianza (la disuguaglianza di Hardy–Littlewood–Sobolev)

$\|I_{\alpha }f\|_{p^{*}}\leq C_{p}\|Rf\|_{p},\quad p^{*}={\frac {np}{n-\alpha p}},$

dove $Rf=DI_{1}f$ è la trasformata vettoriale di Riesz. In generale, gli operatori $I_{\alpha }$ sono ben definiti per $\alpha$ complesso tale che $0<\operatorname {Re\,} \alpha <n$.

Più in generale, si può definire il potenziale di Riesz più debolmente come la convoluzione

$I_{\alpha }f=f*K_{\alpha }\,$

dove $K_{\alpha }$ è una funzione localmente integrabile:

$K_{\alpha }(x)={\frac {1}{c_{\alpha }}}{\frac {1}{|x|^{n-\alpha }}}.$

Pertanto si può definire il potenziale di Riesz ogni volta che $f$ è una distribuzione a supporto compatto. In questo contesto, il potenziale di Riesz di una misura di Borel $\mu$ con supporto compatto è di principale interesse nella teoria del potenziale, poiché $I_{\alpha }\mu$ è allora una funzione subarmonica (continua) fuori dal supporto di $\mu$, ed è inferiormente semicontinua su tutto $\mathbb {R} ^{n}$.

Proprietà

Considerazioni sulla trasformata di Fourier rivelano che il potenziale di Riesz è un moltiplicatore di Fourier. Infatti, si ha

${\widehat {K_{\alpha }}}(\xi )=\int _{\mathbb {R} ^{n}}K_{\alpha }(x)e^{-2\pi ix\xi }\,\mathrm {d} x=|2\pi \xi |^{-\alpha }$

e quindi, per il teorema di convoluzione,

${\widehat {I_{\alpha }f}}(\xi )=|2\pi \xi |^{-\alpha }{\hat {f}}(\xi ).$

I potenziali di Riesz soddisfano la seguente proprietà di semigruppo su, per esempio, le funzioni continue rapidamente decrescenti

$I_{\alpha }I_{\beta }=I_{\alpha +\beta }\$

posto che

$0<\operatorname {Re\,} \alpha ,\operatorname {Re\,} \beta <n,\quad 0<\operatorname {Re\,} (\alpha +\beta )<n.$

Inoltre, se $2<\operatorname {Re\,} \alpha <n$, allora

$\Delta I_{\alpha +2}=-I_{\alpha }.\$

In aggiunta si ha, per questa classe di funzioni,

$\lim _{\alpha \to 0^{+}}(I_{\alpha }f)(x)=f(x).$

Bibliografia

• N. S. Landkof, Foundations of modern potential theory, Berlin, New York, Springer-Verlag, 1972, MR 0350027.
• Marcel Riesz, L'intégrale de Riemann-Liouville et le problème de Cauchy, in Acta Mathematica, vol. 81, 1949, pp. 1–223, DOI:10.1007/BF02395016, ISSN 0001-5962, MR 0030102.
• Solomentsev, E.D. (2001) [1994], "Riesz potential", in Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4
• Armin Schikorra, Daniel Spector e Jean Van Schaftingen, An $L^{1}$-type estimate for Riesz potentials, DOI:10.4171/rmi/937, arXiv:1411.2318.
• Elias Stein, Singular integrals and differentiability properties of functions, Princeton, NJ, Princeton University Press, 1970, ISBN 0-691-08079-8.
• Stefan G. Samko, A new approach to the inversion of the Riesz potential operator (PDF), in Fractional Calculus and Applied Analysis, vol. 1, n. 3, 1998, pp. 225-245. URL consultato il 12 giugno 2018 (archiviato dall'url originale il 22 febbraio 2016).

Voci correlate

• Potenziale di Bessel
• Calcolo frazionario
• Spazio di Sobolev