Quadratura di Gauss

In analisi numerica, le formule gaussiane di quadratura sono formule di quadratura numerica di massimo grado di precisione, utilizzate per l'approssimazione di un integrale definito della forma $\int _{a}^{b}f(x)dx$ conoscendo $n+1$ valori della funzione $f$ nell'intervallo $[a,b]$.

Confronto tra la regola di quadratura di Gauss a 2 punti e la regola dei trapezi. La linea blu è il polinomio $y(x)=7x^{3}-8x^{2}-3x+3$, il cui integrale in $[-1,1]$ è $2/3.$ La regola del trapezio ritorna l'integrale della linea a tratto arancio, pari a $y(-1)+y(1)=-10$. La regola di quadratura di Gauss a 2 punti ritorna l'integrale della linea a tratto nera, pari a $y(-{\sqrt {1/3}})+y({\sqrt {1/3}})=2/3$. Tale risultato è esatto in quanto la regione verde ha la stessa area delle regioni rosse.

Teorema

Dati $n+1$ punti nodali $\{x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n}\}$ in un intervallo $[a,b]$, e una funzione $f(x)$, il grado di precisione di una formula interpolatoria di quadratura $\sum _{i=0}^{n}f(x_{i})w_{i}$ è uguale a $2n+1$ se questi nodi sono gli zeri di un polinomio ortogonale $P_{n+1}(x)$ in $[a,b]$ rispetto ad una funzione peso $w(x)$.

Dimostrazione

Per ipotesi si scelga una $f(x)\in \mathbb {P} _{n}$, spazio dei polinomi di grado $n$, la scelta della $f(x)$ infatti non influenza la successione di valori $w_{i}$.

Vale allora che $\int _{a}^{b}f(x)w(x)dx=\sum _{i=0}^{n}f(x_{i})w_{i}$

perché, essendo univocamente determinati i pesi $w_{i}$, la formula di quadratura deve essere di precisione almeno $n$. Si consideri il polinomio $B(x)$, un polinomio di grado $2n+1$, tale che $B(x_{i})=f(x_{i})$ per ogni $i,$ e che $B(x)-f(x)=P_{n+1}(x)g_{n}(x)$, dove $P_{n+1}$ è un polinomio ortogonale di grado $n+1$ avente gli $n+1$ zeri nei punti nodali.

È quindi possibile scrivere

$\int _{a}^{b}w(x)[B(x)-f(x)]dx=\int _{a}^{b}w(x)[P_{n+1}(x)g_{n}(x)]dx,$

ma il secondo membro dell'uguaglianza vale 0 essendo $P_{n+1}(x)$ polinomio ortogonale. Ne consegue che

$\int _{a}^{b}w(x)B(x)dx=\int _{a}^{b}w(x)f(x)dx=\sum _{i=0}^{n}f(x_{i})w_{i}=\sum _{i=0}^{n}B(x_{i})w_{i},$

da cui risulta che, considerando il primo e l'ultimo membro della serie di uguaglianze, i pesi $\{w_{0},w_{1},\ldots ,w_{n}\}$ sono i coefficienti di una formula di quadratura numerica di grado $2n+1$.

Calcolo dei pesi

Dalla definizione di formula interpolatoria di quadratura numerica si ha che il generico peso di interpolazione $w_{i}$ è costruito come

$\int _{a}^{b}l_{i}(x)dx$

o generalmente

$\int _{a}^{b}l_{i}(x)w(x)dx$

dove $l_{i}(x)$ è il coefficiente del polinomio di Lagrange di indice $i$. Si ha che $l_{i}(x)$ può anche essere espresso come

$h(x) \over (x-x_{i})h'(x_{i})$

Se si intende con $h(x)$ la funzione così definita:

$(x-x_{0})(x-x_{1})\ldots (x-x_{n}).$

Il polinomio ortogonale ha $n+1$ zeri, quindi

$P_{n+1}(x_{i})=a_{n+1}h(x),$

dunque

$l_{i}(x)=$ $P_{n+1}(x) \over (x-x_{i})P'_{n+1}(x_{i}).$

Pertanto il generico peso $w_{i}$ è calcolabile come

$1 \over P'_{n+1}(x_{i})$ $\int _{a}^{b}{P_{n+1}(x)w(x)dx \over (x-x_{i})}.$

Bibliografia

• E. T. Whittaker e G. Robinson The Calculus of Observations (London, Blackie & sons, 1924) p. 159
• M. Abramowitz e I. Stegun Handbook of Mathematical Functions (New York, Dover, 1972) p. 887
• P. J. Davis e P. Rabinowitz, Methods of numerical integration. (New York, Academic Press, 1975).

Collegamenti esterni

• Gaussian Quadrature, su pathfinder.scar.utoronto.ca. URL consultato il 18 maggio 2007 (archiviato dall'url originale il 1º maggio 2007).