Le condizioni di esistenza
modifica
Le condizioni di esistenza sono quell'insieme dei valori delle variabili contenute nel radicale per i quali esso esiste nel campo dei numeri reali [2] .
La funzione radice
n
{\displaystyle n}
-esima è una funzione definita da
R
+
∪
{
0
}
→
R
{\displaystyle \mathbb {R} ^{+}\cup \{0\}\to \mathbb {R} }
, perciò
a
n
{\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}}
resta definita
⟺
a
≥
0
{\displaystyle \iff a\geq 0}
Per esempio, i seguenti radicali esprimono numeri reali:
9
=
3
;
−
25
=
−
5
;
8
3
=
2
;
−
27
3
=
−
3
;
2
=
1
,
4142
…
,
−
π
=
−
1
,
7724
…
{\displaystyle {\sqrt {9}}=3;\quad -{\sqrt {25}}=-5;\quad {\sqrt[{3}]{8}}=2;\quad -{\sqrt[{3}]{27}}=-3;\quad {\sqrt {2}}=1,4142\dots \,,\quad -{\sqrt {\pi }}=-1,7724\dots }
Si può ottenere un risultato analogo alla radice ennesima attraverso l'elevamento a potenza con esponente frazionario :
a
1
n
=
b
⟺
(
a
1
n
)
n
=
b
n
{\displaystyle a^{\frac {1}{n}}=b\Longleftrightarrow \left(a^{\frac {1}{n}}\right)^{n}=b^{n}}
Tuttavia la funzione potenza è definita da
R
→
R
{\displaystyle \mathbb {R} \to \mathbb {R} }
, perciò essa permette di definire due sottocasi:
se
a
≥
0
⟹
a
1
n
≡
a
n
{\displaystyle a\geq 0\implies a^{\frac {1}{n}}\equiv {\sqrt[{n}]{a}}}
se
a
<
0
⟹
∃
a
1
n
∈
R
⟺
n
{\displaystyle a<0\implies \exists \,a^{\frac {1}{n}}\in \mathbb {R} \iff n}
è dispari
Ciò implica che equazioni del tipo
x
n
+
a
=
0
{\displaystyle x^{n}+a=0}
, con
n
{\displaystyle n}
pari e
a
>
0
{\displaystyle a>0}
non hanno soluzioni reali, esse infatti appartengono all'insieme dei numeri immaginari , sottoinsieme dell'insieme dei numeri complessi , indicato con
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
, che vengono espressi come somma di un numero reale e un numero immaginario.
Ad esempio, l'equazione
x
2
+
4
=
0
{\displaystyle x^{2}+4=0}
avrà per soluzioni
2
i
{\displaystyle 2i}
e
−
2
i
{\displaystyle -2i}
, dove
i
{\displaystyle i}
rappresenta l'unità immaginaria .
Quanto visto finora ci permette d'individuare che, ad esempio, la condizione di esistenza del radicale
x
{\displaystyle {\sqrt {x}}}
è
C
.
E
.
:
x
≥
0
{\displaystyle C.E.:x\geq 0}
, dato che il radicando deve essere sempre positivo.
Ecco altri esempi di condizioni di esistenza:
x
−
1
2
{\displaystyle {\sqrt[{2}]{x-1}}}
ha come condizioni di esistenza
x
≥
1
{\displaystyle x\geq 1}
: infatti, si deve risolvere la disequazione
x
−
1
≥
0
{\displaystyle x-1\geq 0}
, la cui soluzione è proprio
x
≥
1
{\displaystyle x\geq 1}
.
(
x
−
1
)
1
3
{\displaystyle (x-1)^{\frac {1}{3}}}
, invece, esiste
∀
x
∈
R
{\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} }
.
x
+
1
x
−
2
{\displaystyle {\sqrt {\frac {x+1}{x-2}}}}
ha come condizioni di esistenza
x
≤
−
1
∨
x
>
2
{\displaystyle x\leq -1\ \lor \ x>2}
, poiché è necessario risolvere la disequazione fratta
x
+
1
x
−
2
≥
0
{\displaystyle {\frac {x+1}{x-2}}\geq 0}
.
Un ultimo esempio: per trovare le condizioni di esistenza del radicale
x
2
(
x
+
1
)
2
x
+
2
{\displaystyle {\sqrt {\frac {x^{2}(x+1)^{2}}{x+2}}}}
è necessario risolvere la disequazione
x
2
(
x
+
1
)
2
x
+
2
≥
0
{\displaystyle {\frac {x^{2}(x+1)^{2}}{x+2}}\geq 0}
, che ha come soluzione
x
>
−
2
{\displaystyle x>-2}
, ricordando che i fattori
x
{\displaystyle x}
ed
x
+
1
{\displaystyle x+1}
sono sempre positivi o nulli, in quanto quadrati .
Operazioni fondamentali
modifica
Esistono delle proprietà fondamentali delle radici che vengono elencate di seguito:
Prima proprietà fondamentale dei radicali
modifica
Dalla definizione di radicale segue che:
(
a
n
)
n
=
a
{\displaystyle \left({\sqrt[{n}]{a}}\right)^{n}=a}
, con
a
≥
0
{\displaystyle a\geq 0}
se
n
{\displaystyle n}
pari,
a
∈
R
{\displaystyle a\in \mathbb {R} }
se
n
{\displaystyle n}
dispari,
n
∈
N
∖
{
0
}
{\displaystyle n\in \mathbb {N} \setminus \{0\}}
.
Prodotto di radicali
modifica
a
n
b
n
=
a
b
n
{\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}{\sqrt[{n}]{b}}={\sqrt[{n}]{ab}}}
, con
a
≥
0
{\displaystyle a\geq 0}
,
b
≥
0
{\displaystyle b\geq 0}
,
n
∈
N
∖
{
0
}
{\displaystyle n\in \mathbb {N} \setminus \{0\}}
Si elevino all'ennesima potenza entrambi i membri dell'uguaglianza:
(
a
n
b
n
)
n
=
(
a
n
)
n
(
b
n
)
n
=
a
b
{\displaystyle \left({\sqrt[{n}]{a}}{\sqrt[{n}]{b}}\right)^{n}=\left({\sqrt[{n}]{a}}\right)^{n}\left({\sqrt[{n}]{b}}\right)^{n}=ab}
(per la prima proprietà fondamentale dei radicali)
(
a
b
n
)
n
=
a
b
{\displaystyle \left({\sqrt[{n}]{ab}}\right)^{n}=ab}
(per la prima proprietà fondamentale dei radicali)
Poiché le
n
{\displaystyle n}
-esime potenze dei due membri sono uguali (
a
b
=
a
b
{\displaystyle ab=ab}
), sono uguali anche le basi.
Applicando la proprietà:
5
10
40
=
5
⋅
10
⋅
40
=
2000
=
20
5
{\displaystyle {\sqrt {5}}{\sqrt {10}}{\sqrt {40}}={\sqrt {5\cdot 10\cdot 40}}={\sqrt {2000}}=20{\sqrt {5}}}
Allo stesso modo, con
C
.
E
:
x
>
1
{\displaystyle C.E:\ x>1}
:
x
−
1
x
1
x
−
1
=
x
(
x
−
1
)
x
−
1
=
x
{\displaystyle {\sqrt {x-1}}{\sqrt {x}}{\sqrt {\frac {1}{x-1}}}={\sqrt {\frac {x(x-1)}{x-1}}}={\sqrt {x}}}
Quoziente di radicali
modifica
a
n
b
n
=
a
b
n
{\displaystyle {\frac {\sqrt[{n}]{a}}{\sqrt[{n}]{b}}}={\sqrt[{n}]{\frac {a}{b}}}}
, con
a
≥
0
{\displaystyle a\geq 0}
,
b
>
0
{\displaystyle b>0}
,
n
∈
N
−
{
0
}
{\displaystyle n\in \mathbb {N} -\{0\}}
Si elevino all'ennesima potenza entrambi i membri dell'uguaglianza :
(
a
n
b
n
)
n
=
(
a
n
)
n
(
b
n
)
n
=
a
b
{\displaystyle \left({\frac {\sqrt[{n}]{a}}{\sqrt[{n}]{b}}}\right)^{n}={\frac {\left({\sqrt[{n}]{a}}\right)^{n}}{\left({\sqrt[{n}]{b}}\right)^{n}}}={\frac {a}{b}}}
(per la prima proprietà fondamentale dei radicali)
(
a
b
n
)
n
=
a
b
{\displaystyle \left({\sqrt[{n}]{\frac {a}{b}}}\right)^{n}={\frac {a}{b}}}
(per la prima proprietà fondamentale dei radicali)
Poiché le
n
{\displaystyle n}
-esime potenze dei due membri sono uguali
(
a
b
=
a
b
)
{\displaystyle \left({\frac {a}{b}}={\frac {a}{b}}\right)}
, sono uguali anche le basi.
Applicando la proprietà:
50
25
=
50
25
=
2
{\displaystyle {\frac {\sqrt {50}}{\sqrt {25}}}={\sqrt {\frac {50}{25}}}={\sqrt {2}}}
Allo stesso modo, con
C
.
E
:
x
>
−
2
{\displaystyle C.E:\ x>-2}
:
x
+
2
(
x
+
2
)
(
x
+
3
)
=
x
+
2
(
x
+
2
)
(
x
+
3
)
=
1
x
+
3
{\displaystyle {\frac {\sqrt {x+2}}{\sqrt {(x+2)(x+3)}}}={\sqrt {\frac {x+2}{(x+2)(x+3)}}}={\sqrt {\frac {1}{x+3}}}}
Potenze di radicali
modifica
(
a
n
)
m
=
a
m
n
{\displaystyle ({\sqrt[{n}]{a}})^{m}={\sqrt[{n}]{a^{m}}}}
, con
a
≥
0
{\displaystyle a\geq 0}
,
n
,
m
∈
N
∖
{
0
}
{\displaystyle n,m\in \mathbb {N} \setminus \{0\}}
Non è necessario dimostrare questa proprietà in quanto è una diretta conseguenza della seconda proprietà dei radicali con il radicando sempre positivo.
Applicando la proprietà:
(
5
)
4
=
5
4
=
25
{\displaystyle \left({\sqrt {5}}\right)^{4}={\sqrt {5^{4}}}=25}
Allo stesso modo, con
C
.
E
:
x
≥
−
1
{\displaystyle C.E:\ x\geq -1}
(
x
+
1
)
4
=
(
x
+
1
)
4
=
(
x
+
1
)
2
{\displaystyle \left({\sqrt {x+1}}\right)^{4}={\sqrt {(x+1)^{4}}}=(x+1)^{2}}
Radice di un radicale
modifica
a
m
n
=
a
m
n
{\displaystyle {\sqrt[{n}]{\sqrt[{m}]{a}}}={\sqrt[{mn}]{a}}}
, con
a
≥
0
{\displaystyle a\geq 0}
,
n
,
m
∈
N
∖
{
0
}
{\displaystyle n,m\in \mathbb {N} \setminus \{0\}}
Si elevino all'
n
m
{\displaystyle nm}
-esima potenza entrambi i membri dell'uguaglianza:
(
a
m
n
)
n
m
=
(
(
a
m
n
)
n
)
m
=
(
a
m
)
m
=
a
{\displaystyle \left({\sqrt[{n}]{\sqrt[{m}]{a}}}\right)^{nm}=\left(\left({\sqrt[{n}]{\sqrt[{m}]{a}}}\right)^{n}\right)^{m}=\left({\sqrt[{m}]{a}}\right)^{m}=a}
(per la prima proprietà fondamentale dei radicali)
(
a
m
n
)
m
n
=
a
{\displaystyle \left({\sqrt[{mn}]{a}}\right)^{mn}=a}
(per la prima proprietà fondamentale dei radicali)
Poiché le
n
m
{\displaystyle nm}
-esime potenze dei due membri sono uguali (
a
=
a
{\displaystyle a=a}
), sono uguali anche le basi.
Applicando la proprietà:
3
3
=
3
2
⋅
3
=
3
6
{\displaystyle {\sqrt {\sqrt[{3}]{3}}}={\sqrt[{2\cdot 3}]{3}}={\sqrt[{6}]{3}}}
Allo stesso modo, con
C
.
E
:
x
≥
0
{\displaystyle C.E:x\geq 0}
,
n
≠
0
∧
n
≠
1
{\displaystyle n\neq 0\ \land \ n\neq 1}
x
n
−
1
n
=
x
n
(
n
−
1
)
=
x
n
2
−
n
{\displaystyle {\sqrt[{n}]{\sqrt[{n-1}]{x}}}={\sqrt[{n(n-1)}]{x}}={\sqrt[{n^{2}-n}]{x}}}
a
n
b
n
=
a
b
n
{\displaystyle {\sqrt[{n}]{a^{n}b}}=a{\sqrt[{n}]{b}}}
, con
a
≥
0
{\displaystyle a\geq 0}
,
b
>
0
{\displaystyle b>0}
,
n
∈
N
−
{
0
}
{\displaystyle n\in \mathbb {N} -\{0\}}
Per il teorema del prodotto si ottiene:
a
n
b
n
=
a
n
n
b
n
{\displaystyle {\sqrt[{n}]{a^{n}b}}={\sqrt[{n}]{a^{n}}}{\sqrt[{n}]{b}}}
Ma, per la seconda proprietà fondamentale dei radicale è
a
n
n
=
a
{\displaystyle {\sqrt[{n}]{a^{n}}}=a}
, perciò:
a
n
b
n
=
a
n
n
b
n
=
a
b
n
{\displaystyle {\sqrt[{n}]{a^{n}b}}={\sqrt[{n}]{a^{n}}}{\sqrt[{n}]{b}}=a{\sqrt[{n}]{b}}}
Applicando la proprietà:
500
=
100
⋅
5
=
10
5
{\displaystyle {\sqrt {500}}={\sqrt {100\cdot 5}}=10{\sqrt {5}}}
Allo stesso modo, con
C
.
E
:
x
≥
0
{\displaystyle C.E:\ x\geq 0}
:
x
(
x
+
1
)
2
=
(
x
+
1
)
x
{\displaystyle {\sqrt {x(x+1)^{2}}}=(x+1){\sqrt {x}}}
Il teorema presenta le seguenti varianti, facilmente verificabili:
a
n
x
b
n
=
a
x
b
n
{\displaystyle {\sqrt[{n}]{a^{nx}b}}=a^{x}{\sqrt[{n}]{b}}}
, con
a
≥
0
{\displaystyle a\geq 0}
,
b
>
0
{\displaystyle b>0}
,
n
,
x
∈
N
∖
{
0
}
{\displaystyle n,x\in \mathbb {N} \setminus \{0\}}
a
n
x
+
k
n
=
a
x
a
k
n
{\displaystyle {\sqrt[{n}]{a^{nx+k}}}=a^{x}{\sqrt[{n}]{a^{k}}}}
, con
a
≥
0
{\displaystyle a\geq 0}
,
n
,
k
∈
N
∖
{
0
}
{\displaystyle n,k\in \mathbb {N} \setminus \{0\}}
a
b
n
=
a
n
b
n
{\displaystyle a{\sqrt[{n}]{b}}={\sqrt[{n}]{a^{n}b}}}
, con
a
≥
0
{\displaystyle a\geq 0}
,
b
>
0
{\displaystyle b>0}
,
n
∈
N
∖
{
0
}
{\displaystyle n\in \mathbb {N} \setminus \{0\}}
Elevando tutto alla
n
{\displaystyle n}
-esima potenza si ottiene:
a
b
n
=
a
n
b
{\displaystyle a{\sqrt[{n}]{b}}=a^{n}b}
Radicando ora il tutto sotto radice di indice
n
{\displaystyle n}
risulta:
a
n
b
=
a
n
b
n
{\displaystyle a^{n}b={\sqrt[{n}]{a^{n}b}}}
Quindi:
a
b
n
=
a
n
b
n
{\displaystyle a{\sqrt[{n}]{b}}={\sqrt[{n}]{a^{n}b}}}
Applicando la proprietà:
10
3
=
10
2
⋅
3
=
300
{\displaystyle 10{\sqrt {3}}={\sqrt {10^{2}\cdot 3}}={\sqrt {300}}}
Allo stesso modo:
x
3
=
3
x
2
{\displaystyle x{\sqrt {3}}={\sqrt {3x^{2}}}}
per
x
≥
0
{\displaystyle x\geq 0}
−
3
x
2
{\displaystyle -{\sqrt {3x^{2}}}}
per
x
<
0
{\displaystyle x<0}
Il teorema presenta le seguenti varianti, facilmente verificabili:
a
x
b
n
=
a
n
x
b
n
{\displaystyle a^{x}{\sqrt[{n}]{b}}={\sqrt[{n}]{a^{nx}b}}}
, con
a
≥
0
{\displaystyle a\geq 0}
,
b
>
0
{\displaystyle b>0}
,
n
,
x
∈
N
∖
{
0
}
{\displaystyle n,x\in \mathbb {N} \setminus \{0\}}
a
x
a
k
n
=
a
n
x
+
k
n
{\displaystyle a^{x}{\sqrt[{n}]{a^{k}}}={\sqrt[{n}]{a^{nx+k}}}}
, con
a
≥
0
{\displaystyle a\geq 0}
,
n
,
x
∈
N
∖
{
0
}
{\displaystyle n,x\in \mathbb {N} \setminus \{0\}}
Potenze ad esponente razionale
modifica
Tenendo conto di quanto detto finora, si ha che per
a
≥
0
{\displaystyle a\geq 0}
a
m
n
≡
a
m
n
{\displaystyle a^{\frac {m}{n}}\equiv {\sqrt[{n}]{a^{m}}}}
a
−
m
n
≡
1
a
m
n
{\displaystyle a^{-{\frac {m}{n}}}\equiv {\frac {1}{\sqrt[{n}]{a^{m}}}}}
Il primo enunciato si ottiene direttamente dalla definizione di radicale, il secondo applicando il teorema delle potenze ad esponente negativo .
Radicali quadratici doppi
modifica
a
±
b
=
a
+
a
2
−
b
2
±
a
−
a
2
−
b
2
{\displaystyle {\sqrt {a\pm {\sqrt {b}}}}={\sqrt {\frac {a+{\sqrt {a^{2}-b}}}{2}}}\pm {\sqrt {\frac {a-{\sqrt {a^{2}-b}}}{2}}}}
dove
a
>
0
{\displaystyle a>0}
,
b
>
0
{\displaystyle b>0}
e
a
2
>
b
{\displaystyle a^{2}>b}
.
Per ogni numero complesso
a
≠
0
{\displaystyle a\neq 0}
, ci sono
n
{\displaystyle n}
diversi numeri complessi
b
{\displaystyle b}
tali che
b
n
=
a
{\displaystyle b^{n}=a}
, quindi il simbolo
a
n
{\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}}
non può essere usato univocamente. Se
a
=
1
{\displaystyle a=1}
, parliamo di radici n-esime dell'unità .
Somme di radicali
modifica
È importante ricordare che, in generale, è sempre (per
a
≥
0
{\displaystyle a\geq 0}
,
b
≥
0
{\displaystyle b\geq 0}
):
a
+
b
≥
a
+
b
{\displaystyle {\sqrt {a}}+{\sqrt {b}}\geq {\sqrt {a+b}}}
tenendo presente che l'uguaglianza si ha se e solo se almeno uno tra
a
{\displaystyle a}
e
b
{\displaystyle b}
è
0
{\displaystyle 0}
.
Quindi, affermare che
2
+
3
=
5
{\displaystyle {\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}={\sqrt {5}}}
sarebbe un gravissimo errore.
Partendo dalla disequazione:
a
+
b
≥
a
+
b
{\displaystyle {\sqrt {a}}+{\sqrt {b}}\geq {\sqrt {a+b}}}
Elevando al quadrato si ottiene:
(
a
+
b
)
2
≥
(
a
+
b
)
2
{\displaystyle \left({\sqrt {a}}+{\sqrt {b}}\right)^{2}\geq \left({\sqrt {a+b}}\right)^{2}}
a
+
b
+
2
a
b
≥
a
+
b
{\displaystyle a+b+2{\sqrt {ab}}\geq a+b}
2
a
b
≥
0
{\displaystyle 2{\sqrt {ab}}\geq 0}
Poiché è
a
≥
0
{\displaystyle a\geq 0}
e
b
≥
0
{\displaystyle b\geq 0}
per ipotesi , è anche
a
b
≥
0
{\displaystyle {\sqrt {ab}}\geq 0}
, quindi la tesi è vera.
Generalizzazione
modifica
Il teorema è facilmente estendibile alle radici di indice
n
{\displaystyle n}
-esimo:
a
n
+
b
n
≥
a
+
b
n
{\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}+{\sqrt[{n}]{b}}\geq {\sqrt[{n}]{a+b}}}
, con
a
≥
0
{\displaystyle a\geq 0}
,
b
≥
0
{\displaystyle b\geq 0}
,
n
∈
N
∖
{
0
}
{\displaystyle n\in \mathbb {N} \setminus \{0\}}
Casi in cui la somma è possibile
modifica
La somma di radicali è possibile solo se sono presenti radicali simili, cioè nel caso in cui:
a
k
n
+
b
k
n
=
(
a
+
b
)
k
n
{\displaystyle a{\sqrt[{n}]{k}}+b{\sqrt[{n}]{k}}=\left(a+b\right){\sqrt[{n}]{k}}}
, con
k
>
0
{\displaystyle k>0}
Ad esempio:
10
2
+
5
2
=
(
10
+
5
)
2
=
15
2
{\displaystyle 10{\sqrt {2}}+5{\sqrt {2}}=(10+5){\sqrt {2}}=15{\sqrt {2}}}
5
+
3
5
=
5
5
+
3
5
=
(
5
+
3
)
5
{\displaystyle 5+3{\sqrt {5}}={\sqrt {5}}{\sqrt {5}}+3{\sqrt {5}}=\left({\sqrt {5}}+3\right){\sqrt {5}}}
Nel secondo esempio si tenga presente che vale
n
=
n
n
{\displaystyle n={\sqrt {n}}{\sqrt {n}}}
.
Proprietà invariantiva dei radicali
modifica
La proprietà invariantiva dei radicali afferma che:
"Moltiplicando o dividendo sia l'indice di un radicale che l'esponente del suo radicando per un numero naturale diverso da 0, si ottiene un radicale equivalente a quello dato."
In simboli:
x
n
=
x
p
n
p
{\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}={\sqrt[{np}]{x^{p}}}}
, con
x
≥
0
{\displaystyle x\geq 0}
,
n
,
p
∈
N
∖
{
0
}
{\displaystyle n,p\in \mathbb {N} \setminus \{0\}}
Si elevi alla
n
p
{\displaystyle np}
potenza ciascuno dei due membri:
(
x
n
)
n
p
=
(
(
x
n
)
n
)
p
=
x
p
{\displaystyle \left({\sqrt[{n}]{x}}\right)^{np}=\left(\left({\sqrt[{n}]{x}}\right)^{n}\right)^{p}=x^{p}}
(per la prima proprietà fondamentale dei radicali)
(
x
p
n
p
)
n
p
=
x
p
{\displaystyle \left({\sqrt[{np}]{x^{p}}}\right)^{np}=x^{p}}
(per la prima proprietà fondamentale dei radicali)
Si ottiene
x
p
=
x
p
{\displaystyle x^{p}=x^{p}}
, e, poiché le
n
p
{\displaystyle np}
-esime potenze dei due membri sono uguali, sono uguali anche le basi.
Utilizzando la proprietà invariantiva è possibile semplificare i radicali, dividendo sia indice che esponente del radicando per uno stesso numero:
3
5
10
=
3
5
5
10
5
=
3
{\displaystyle {\sqrt[{10}]{3^{5}}}={\sqrt[{\frac {10}{5}}]{3^{\frac {5}{5}}}}={\sqrt {3}}}
Allo stesso modo:
(
x
+
1
)
10
20
=
|
x
+
1
|
{\displaystyle {\sqrt[{20}]{(x+1)^{10}}}={\sqrt {|x+1|}}}
Si noti che nell'espressione è stato inserito il valore assoluto : questo perché, mentre il primo radicale
(
x
+
1
)
10
20
{\displaystyle {\sqrt[{20}]{(x+1)^{10}}}}
esiste sempre, dato che ha il radicando elevato ad un indice pari, successivamente viene semplificato ed il suo radicando non è più elevato ad un esponente pari . Quindi è necessario inserire il valore assoluto, per fare in modo che l'uguaglianza si mantenga valida.
Casi particolari
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La radice
n
{\displaystyle n}
-esima di
0
{\displaystyle 0}
vale sempre
0
{\displaystyle 0}
, escludendo il caso in cui è
n
=
0
{\displaystyle n=0}
, poiché la radice di indice
0
{\displaystyle 0}
ha significato solo se il radicando è uguale ad
1
{\displaystyle 1}
, ossia nel caso:
1
0
=
C
∖
{
0
}
{\displaystyle {\sqrt[{0}]{1}}=\mathbb {C} \setminus \{0\}}
, poiché l'operazione inversa,
n
0
{\displaystyle n^{0}}
, con
n
≠
0
{\displaystyle n\neq 0}
, dà sempre come risultato il valore
1
{\displaystyle 1}
, quindi qualsiasi valore, anche complesso, di
n
{\displaystyle n}
è accettabile.
Inoltre, è sempre:
1
n
=
1
{\displaystyle {\sqrt[{n}]{1}}=1}
n
1
=
n
{\displaystyle {\sqrt[{1}]{n}}=n}
Razionalizzazione
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Radicali letterali
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Può capitare, spesso in analisi , di trovare radicali letterali, ossia radici quadrate con radicando letterale. In questo caso, dapprima bisogna trovare la condizione di esistenza (chiamata anche C.A. Condizione di accettabilità , o C.R.R. Condizione di Realtà del Radicando ), nel caso si lavori solo tra i numeri reali , per poi considerare sempre quando le lettere indicano numeri positivi o numeri negativi .
Un esempio di radicale letterale:
x
+
3
x
3
−
1
n
{\displaystyle {\sqrt[{n}]{\frac {x+3}{x^{3}-1}}}}
Le condizioni di esistenza si ricavano nel seguente modo:
Per l'indice , è semplicemente
n
∈
N
∖
{
0
}
{\displaystyle n\in \mathbb {N} \setminus \{0\}}
, poiché è l'unico numero naturale per cui perde di significato;
Se l'indice è pari, per il radicando è necessario risolvere la disequazione frazionaria
x
+
3
x
3
−
1
≥
0
{\displaystyle {\frac {x+3}{x^{3}-1}}\geq 0}
, la cui soluzione è:
x
>
1
∨
x
≤
−
3
{\displaystyle x>1\ \ \lor \ \ x\leq -3}
.
Se l'indice è dispari, per il radicando basta imporre le condizioni di esistenza sul denominatore, ossia
x
3
−
1
≠
0
⟺
x
≠
1
{\displaystyle x^{3}-1\neq 0\Longleftrightarrow x\neq 1}
.
Pertanto il campo di esistenza del radicale è:
C
.
E
:
(
x
>
1
∨
x
≤
−
3
)
∧
(
n
≠
0
)
{\displaystyle C.E:\ \ \left(x>1\ \lor \ x\leq -3\right)\ \land \ \left(n\neq 0\right)}
.
Collegamenti esterni
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