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Radice numerica moltiplicativa

In teoria dei numeri, la radice numerica moltiplicativa (o radice digitale moltiplicativa) di un numero naturale in una data base è un numero che si ottiene moltiplicando le cifre di quel numero, e iterando il procedimento fino ad ottenere un numero di una sola cifra. Se la base non viene specificata, si intende la radice numerica moltiplicativa in base 10.

Per esempio, la radice numerica moltiplicativa di 31917 è 4, perché 3·1·9·1·7=189; 1·8·9=72; 7·2=14; 1·4=4. Poiché ci sono voluti 4 passaggi per arrivare alla radice numerica moltiplicativa, il numero 31917 ha una persistenza moltiplicativa di 4.

La radice numerica moltiplicativa è l'analogo rispetto alla moltiplicazione della radice numerica rispetto all'addizione.

n Primi numeri ad avere n come radice numerica moltiplicativa in base 10
0 0, 10, 20, 25, 30, 40, 45, 50, 52, 54, 55, 56, 58[1]
1 1, 11, 111, 1111, 11111, 111111, 1111111, 11111111[2]
2 2, 12, 21, 26, 34, 37, 43, 62, 73, 112, 121, 126[3]
3 3, 13, 31, 113, 131, 311, 1113, 1131, 1311, 3111[4]
4 4, 14, 22, 27, 39, 41, 72, 89, 93, 98, 114, 122[5]
5 5, 15, 35, 51, 53, 57, 75, 115, 135, 151, 153, 157[6]
6 6, 16, 23, 28, 32, 44, 47, 48, 61, 68, 74, 82, 84[7]
7 7, 17, 71, 117, 171, 711, 1117, 1171, 1711, 7111[8]
8 8, 18, 24, 29, 36, 38, 42, 46, 49, 63, 64, 66, 67[9]
9 9, 19, 33, 91, 119, 133, 191, 313, 331, 911, 1119[10]

Persistenza moltiplicativa modifica

Il numero di volte in cui è necessario ripetere la moltiplicazione delle cifre è detto persistenza moltiplicativa del numero. Al momento sono noti, in base 10, numeri con persistenze moltiplicative che vanno da 1 ad 11. Se esiste almeno un numero con una persistenza moltiplicativa maggiore di 11, esso deve essere più grande di 10233[11]. Si congettura che il più grande numero privo di cifre 1 ad avere 11 come persistenza moltiplicativa sia 77777733332222222222222222222. Una congettura più ampia ipotizza che, per ogni p maggiore di 2, esista sempre un massimo numero privo di cifre 1 con persistenza moltiplicativa p.
In base 2, la massima persistenza moltiplicativa è di 1. Non si conoscono eventuali valori massimi della persistenza moltiplicativa in altre basi di numerazione; se, come è stato congetturato, tutte le potenze di 2 2m con m>15 contengono almeno una cifra 0 in base 3, ne seguirebbe che il massimo valore per la persistenza moltiplicativa in base 3 è 3[12].
Il matematico Paul Erdős ha dimostrato che, ignorando gli zeri, la persistenza moltiplicativa di un numero   vale al massimo

 ,

dove   è una costante che dipende dalla base di numerazione usata.

Congettura di Sloane sulla persistenza moltiplicativa modifica

Nel 1973 il matematico Neil Sloane ha avanzato l'ipotesi che nessun numero possa avere una persistenza moltiplicativa maggiore del numero stesso. Il problema è ancora aperto relativamente alle tipiche basi di numerazione. Per quanto riguarda la base fattoriale, un sistema di numerazione esotico, è stato invece trovato un controesempio. Infatti, nella base fattoriale, è possibile trovare numeri con una persistenza moltiplicativa arbitrariamente grande, dato che

 

ha   sia come radice numerica moltiplicativa che come persistenza moltiplicativa, ed è quindi il limite superiore del numero richiesto[13].

Generalizzazioni modifica

Il concetto di persistenza moltiplicativa può essere generalizzato moltiplicando, invece delle cifre stesse, la loro k-esima potenza finché il risultato non è costante. La persistenza rispetto a tale operazione è detta "k-persistenza moltiplicativa"; la normale persistenza moltiplicativa è la 1-persistenza moltiplicativa. Con k>2, l'iterazione del procedimento conduce sempre a 1 per i numeri a cifra ripetuta e a 0 per tutti gli altri numeri.

k-persistenze moltiplicative per i primi k
k k-persistenza moltiplicativa dei primi numeri interi
2 0, 7, 6, 6, 3, 5, 5, 4, 5, 1, ...[14]
3 0, 4, 5, 4, 3, 4, 4, 3, 3, 1, ...[15]
4 0, 4, 3, 3, 3, 3, 2, 2, 3, 1, ...[16]
5 0, 4, 4, 2, 3, 3, 2, 3, 2, 1, ...[17]
6 0, 3, 3, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 1, ...[18]
7 0, 4, 3, 3, 3, 3, 3, 2, 3, 1, ...[19]
8 0, 3, 3, 3, 2, 4, 2, 3, 2, 1, ...[20]
9 0, 3, 3, 3, 3, 2, 2, 3, 2, 1, ...[21]
10 0, 2, 2, 2, 3, 2, 3, 2, 2, 1, ...[22]

Note modifica

  1. ^ (EN) Sequenza A034048, su On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, The OEIS Foundation.
  2. ^ (EN) Sequenza A002275, su On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, The OEIS Foundation.
  3. ^ (EN) Sequenza A034049, su On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, The OEIS Foundation.
  4. ^ (EN) Sequenza A034050, su On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, The OEIS Foundation.
  5. ^ (EN) Sequenza A034051, su On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, The OEIS Foundation.
  6. ^ (EN) Sequenza A034052, su On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, The OEIS Foundation.
  7. ^ (EN) Sequenza A034053, su On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, The OEIS Foundation.
  8. ^ (EN) Sequenza A034054, su On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, The OEIS Foundation.
  9. ^ (EN) Sequenza A034055, su On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, The OEIS Foundation.
  10. ^ (EN) Sequenza A034056, su On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, The OEIS Foundation.
  11. ^ Phil Carmody, OEIS A003001, and a 'Zero-Length Message', 23 luglio 2003.
  12. ^ Richard K. Guy, Unsolved Problems in Number Theory, 2ª ed., New York, Springer-Verlag, 1994, pp. 262-263, ISBN 978-0-387-20860-2.
  13. ^ Mark R. Diamond, Daniel D. Reidpath, A Counterexample to Conjectures by Sloane and Erdős concerning the Persistence of Numbers (PDF), in Journal of Recreational Mathematics, 29 (2), 1998, pp. 89-92.
  14. ^ (EN) Sequenza A031348, su On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, The OEIS Foundation.
  15. ^ (EN) Sequenza A031349, su On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, The OEIS Foundation.
  16. ^ (EN) Sequenza A031350, su On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, The OEIS Foundation.
  17. ^ (EN) Sequenza A031351, su On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, The OEIS Foundation.
  18. ^ (EN) Sequenza A031352, su On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, The OEIS Foundation.
  19. ^ (EN) Sequenza A031353, su On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, The OEIS Foundation.
  20. ^ (EN) Sequenza A031354, su On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, The OEIS Foundation.
  21. ^ (EN) Sequenza A031355, su On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, The OEIS Foundation.
  22. ^ (EN) Sequenza A031356, su On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, The OEIS Foundation.

Voci correlate modifica

Collegamenti esterni modifica

Sequenze numeriche modifica

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