Sottospazio vettoriale

In matematica, e in particolare in algebra lineare, un sottospazio vettoriale è un sottoinsieme di uno spazio vettoriale, avente proprietà tali da farne a sua volta un altro spazio vettoriale. Esempi di sottospazi vettoriali sono le rette ed i piani nello spazio euclideo tridimensionale passanti per l'origine.

Tre sottospazi distinti di dimensione 2 in $\mathbb {R} ^{3}$. Due di questi si intersecano in un sottospazio di dimensione 1 (evidenziato in blu).

Definizione

Sia $K$ un campo, sia $V$ uno spazio vettoriale su $K$ e sia $W$ un sottoinsieme non vuoto di $V$. L'insieme $W$ è un sottospazio vettoriale di $V$ se è uno spazio vettoriale su $K$ con le operazioni di somma e moltiplicazione di $V$ ristrette a $W$, questo vuol dire, tra le altre cose, che le immagini di tali operazioni ristrette sono contenute in $W$.

Si dimostra che il sottoinsieme non vuoto $W$ è un sottospazio vettoriale se e solo se valgono le seguenti proprietà:

• Se $\mathbf {u}$ e $\mathbf {v}$ sono elementi di $W$, allora anche la loro somma $\mathbf {u} +\mathbf {v}$ è un elemento di $W$.
• Se $\mathbf {u}$ è un elemento di $W$ e $\lambda$ è uno scalare in $K$, allora il prodotto $\lambda \mathbf {u}$ è un elemento di $W$.

Queste due condizioni sono equivalenti alla seguente: se $\mathbf {u}$ e $\mathbf {v}$ sono elementi di $W$, $\lambda$ e $\mu$ sono elementi di $K$, allora $\lambda \mathbf {u} +\mu \mathbf {v}$ è un elemento di $W$.

Dalla definizione segue che per ogni spazio vettoriale $V$ gli insiemi $\{\mathbf {0} \}$ e $V$ sono suoi sottospazi vettoriali, detti sottospazi impropri o banali. Richiedere l'appartenenza del vettore nullo al sottoinsieme nella definizione non è necessario (anche se alcuni autori lo esplicitano nella definizione) in quanto si dimostra che il vettore nullo appartiene a ogni sottospazio vettoriale. Infatti, per ogni $\mathbf {v} \in W$ il vettore:

$0\mathbf {v} =\mathbf {0}$

appartiene a $W$ grazie alla chiusura dell'insieme rispetto al prodotto per scalare. Tuttavia spesso verificare l'appartenenza del vettore nullo al sottoinsieme è un modo semplice per verificare che il sottoinsieme $W$ sia non vuoto (che invece è una condizione necessaria per avere un sottospazio).

Inoltre, si prova facilmente che il sottospazio di un sottospazio di uno spazio $V$ è sottospazio di $V$ stesso.

Queste proprietà garantiscono che le operazioni di somma e di prodotto per scalare di $V$ siano ben definite anche quando sono ristrette a $W$. A questo punto, gli otto assiomi di spazio vettoriale, che erano garantiti per $V$, valgono anche per $W$, e quindi anche $W$ è uno spazio vettoriale.

Esempi

Molti esempi di spazi vettoriali si costruiscono come sottospazi di spazi vettoriali standard, quali $K^{n}$, le matrici $m\times n$, o i polinomi a coefficienti in $K$.

• Si consideri lo spazio vettoriale reale $\mathbb {R} ^{2}$ dotato di operazioni somma di vettori e prodotto di uno scalare per un vettore. L'insieme costituito dal solo elemento $(0,0)$ è un sottinsieme di $\mathbb {R} ^{2}$. Si verifica che l'insieme contenente solo $(0,0)$ è un sottospazio di $\mathbb {R} ^{2}$ poiché $(0,0)+(0,0)=(0,0)$ elemento del sottospazio, e il prodotto di uno scalare $\lambda \in \mathbb {R}$ per $(0,0)$ dà come risultato sempre $(0,0).$ Più in generale il sottoinsieme di uno spazio vettoriale contenente il solo elemento neutro dello spazio vettoriale è un sottospazio vettoriale detto sottospazio banale.
• Una retta o un piano passanti per l'origine sono sottospazi di $\mathbb {R} ^{3}$.
• Le soluzioni di un sistema lineare omogeneo a coefficienti in $K$ e in $n$ variabili sono un sottospazio vettoriale di $K^{n}$.
• Sia $V$ lo spazio delle matrici quadrate $n\times n$ reali, con operazioni somma tra matrici e prodotto scalare per matrice. Allora l'insieme delle matrici diagonali è un sottospazio di $V,$ siccome è non vuoto, la somma di due matrici diagonali è una matrice diagonale, e il prodotto di uno scalare per una matrice diagonale è una matrice diagonale.
• Analogamente le matrici simmetriche e le matrici antisimmetriche formano due sottospazi dello spazio delle matrici quadrate $n\times n$.
• Il nucleo e l'immagine di una applicazione lineare $f\colon V\to W$ sono sottospazi rispettivamente di $V$ e di $W$.
• I polinomi di gradi al più $k$ sono un sottospazio dello spazio $K[x]$ dei polinomi a coefficienti in $K$ con variabile $x$.
• Se $X$ è un insieme ed $x$ un punto di $X$, le funzioni da $X$ in $K$ che si annullano in $x$ (cioè le $f$ tali che $f(x)=0$) costituiscono un sottospazio dello spazio di tutte le funzioni da $X$ in $K$. Inoltre le funzioni da $X$ in $K$ che si annullano sia in $x$ che in un secondo punto $y\in X$ costituiscono un sottospazio del precedente.
• L'insieme delle funzioni continue $C(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )$ da $\mathbb {R}$ in $\mathbb {R}$ fornisce un sottospazio delle funzioni da $\mathbb {R}$ in $\mathbb {R}$, e l'insieme delle funzioni derivabili ne costituisce un sottospazio.

Operazioni nei sottospazi

L'intersezione $U\cap W$ di due sottospazi $U$ e $W$ di $V$ è ancora un sottospazio. Ad esempio, l'intersezione di due piani distinti in $\mathbb {R} ^{3}$ passanti per l'origine è una retta, sempre passante per l'origine.

L'unione $U\cup W$ invece non è in generale un sottospazio, ed è un sottospazio se e solo se $U\subseteq W$ oppure $W\subseteq U$. Una composizione di due sottospazi $U$ e $W$ che fornisce un nuovo sottospazio è la cosiddetta somma $U+W$, definita come l'insieme di tutti i vettori che sono somma $\mathbf {u} +\mathbf {w}$ dei vettori $\mathbf {u} \in U$ e $\mathbf {w} \in W$. Ad esempio, la somma di due rette distinte (sempre passanti per l'origine) in $\mathbb {R} ^{3}$ è il piano che le contiene.

La formula di Grassmann mette in relazione le dimensioni dei quattro spazi $U$, $W$, $U\cap W$ e $U+W$.

L'ortogonale $W^{\perp }$ di uno sottospazio vettoriale $W$ di uno spazio $V$ su cui sia definita una forma bilineare $\phi$ è l'insieme dei vettori $\mathbf {v}$ tali che $\phi (\mathbf {v} ,\mathbf {w} )=0$ per ogni $\mathbf {w} \in V$.

Quoziente di uno spazio vettoriale

Se $W$ è un sottospazio vettoriale di $V$, si può costruire il gruppo quoziente $V/W$ e munirlo a sua volta di una naturale struttura di spazio vettoriale.

Con precisione, si definisce la relazione di equivalenza $\mathbf {v} \sim \mathbf {w}$ se e solo se $\mathbf {v} -\mathbf {w} \in W$. Una singola classe di equivalenza è spesso denotata come $\mathbf {v} +W$. Somma e moltiplicazione per scalari sono definiti mediante:

$(\mathbf {v} +W)+(\mathbf {w} +W)=(\mathbf {v} +\mathbf {w} )+W$

$\lambda (\mathbf {v} +W)=(\lambda \mathbf {v} )+W$

Bibliografia

• (EN) Kenneth Hoffman, Ray Kunze, Linear Algebra, 2ª ed., Englewood Cliffs, New Jersey, Prentice - Hall, inc., 1971, ISBN 0-13-536821-9.
• Serge Lang, Algebra lineare, Torino, Bollati Boringhieri, 1992, ISBN 88-339-5035-2.
• (EN) Aigner, M. Combinatorial Theory. New York: Springer-Verlag, 1979.
• (EN) Exton, H. q-Hypergeometric Functions and Applications. New York: Halstead Press, 1983.
• (EN) Finch, S. R. "Lengyel's Constant." Mathematical Constants. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 316-321, 2003.

Voci correlate

• Dimensione (spazio vettoriale)
• Formula di Grassmann
• Trasformazione lineare
• Sottospazio generato
• Spazio vettoriale

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Sottospazio vettoriale, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Vector subspace, in PlanetMath.
• (EN) MIT Linear Algebra Lecture on the Four Fundamental Subspaces Archiviato il 19 aprile 2010 in Internet Archive. at Google Video, from MIT OpenCourseWare