Spettro essenziale

In matematica, lo spettro essenziale di un operatore limitato è un sottoinsieme dello spettro.

Operatori limitati

Sia $X$ uno spazio di Banach e $T$ un operatore limitato definito su $X$. In letteratura vi sono diverse definizioni di spettro essenziale, che non sono equivalenti tra loro (ma coincidono nel caso di un operatore autoaggiunto):

• Lo spettro essenziale $\sigma _{\mathrm {ess,1} }(T)$ è l'insieme dei numeri $\lambda$ tali che $\lambda I-T$ non è un operatore semi-Fredholm, ovvero un operatore caratterizzato dal possedere nucleo o conucleo aventi dimensione finita e immagine chiusa.
• Lo spettro essenziale $\sigma _{\mathrm {ess,2} }(T)$ è l'insieme dei numeri $\lambda$ tali che $\lambda I-T$ non ha immagine chiusa oppure il suo nucleo ha dimensione infinita.
• Lo spettro essenziale $\sigma _{\mathrm {ess,3} }(T)$ è l'insieme dei numeri $\lambda$ tali che $\lambda I-T$ non è un operatore di Fredholm, ovvero un operatore caratterizzato dal possedere nucleo e conucleo aventi dimensione finita e immagine chiusa.
• Lo spettro essenziale $\sigma _{\mathrm {ess,4} }(T)$ è l'insieme dei numeri $\lambda$ tali che $\lambda I-T$ non è un operatore di Fredholm tale che la dimensione del nucleo e del conucleo non siano coincidenti.
• Lo spettro essenziale $\sigma _{\mathrm {ess,5} }(T)$ è l'unione di $\sigma _{\mathrm {ess,1} }(T)$ e tutte le componenti di $\mathbb {C} \setminus \sigma _{\mathrm {ess,1} }(T)$ che non intersecano l'insieme risolvente $\mathbb {C} \setminus \sigma (T)$.

Lo spettro essenziale è sempre chiuso, indipendentemente dalla definizione usata, e si ha:

$\sigma _{\mathrm {ess} ,1}(T)\subset \sigma _{\mathrm {ess} ,2}(T)\subset \sigma _{\mathrm {ess} ,3}(T)\subset \sigma _{\mathrm {ess} ,4}(T)\subset \sigma _{\mathrm {ess} ,5}(T)\subset \sigma (T)\subset \mathbf {C}$

Il raggio spettrale dello spettro essenziale è dato da:

$r_{\mathrm {ess} ,k}(T)=\max\{|\lambda |:\lambda \in \sigma _{\mathrm {ess} ,k}(T)\}$

Lo spettro essenziale di un operatore $T$ è invariante se a $T$ si somma un operatore compatto per k = 1,2,3,4, ma non per k = 5. Il caso k = 4, in particolare, fornisce la parte di spettro che è indipendente dalla perturbazione di un operatore compatto:

$\sigma _{\mathrm {ess} ,4}(T)=\bigcap _{K\in K(X)}\sigma (T+K)$

dove $K(X)$ è l'insieme degli operatori compatti in $X$.

Operatori limitati autoaggiunti

Sia $X$ uno spazio di Hilbert e $T$ un operatore limitato autoaggiunto definito su $X$. Lo spettro essenziale $\sigma _{\mathrm {ess} }(T)$ di $T$ è l'insieme dei numeri complessi $\lambda$ tali che:

$\lambda \,I-T$

non è un operatore di Fredholm. Si tratta sempre di un insieme chiuso che è un sottoinsieme dello spettro, in tal caso contenente solo valori reali data la natura dell'operatore considerato (autoaggiunto).

Se $K$ è un operatore compatto su $X$, allora lo spettro essenziale di $T$ e $T+K$ coincidono.

Il criterio di Weyl afferma che $\lambda$ è nello spettro di $T$ se esiste una successione $\{\psi _{k}\}$ in $X$ tale che $\|\psi _{k}\|=1$ e:

$\lim _{k\to \infty }\left\|T\psi _{k}-\lambda \psi _{k}\right\|=0$

mentre $\lambda$ è nello spettro essenziale se la successione $\{\psi _{k}\}$ non contiene nessuna sottosuccessione convergente (questo si verifica, ad esempio, se $\{\psi _{k}\}$ è ortonormale e tale successione viene detta successione singolare.

Il complementare dello spettro essenziale di $T$ è lo spettro discreto $\sigma _{\mathrm {discr} }(T)$:

$\sigma _{\mathrm {discr} }(T)=\sigma (T)\setminus \sigma _{\mathrm {ess} }(T)$

e $\lambda \in \sigma _{\mathrm {discr} }(T)$ se è un autovalore isolato con molteplicità finita, ovvero la dimensione di:

$\{\psi \in X:T\psi =\lambda \psi \}$

è finita e non nulla. Inoltre, esiste un $\epsilon >0$ tale che se e solo se $\mu \in \sigma (T)$ e $|\mu -\lambda |<\epsilon$ allora $\mu =\lambda$.

Bibliografia

• (EN) Michael Reed, Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis, 2ª ed., San Diego, California, Academic press inc., 1980, ISBN 0125850506.
• (EN) D.E. Edmunds and W.D. Evans (1987), Spectral theory and differential operators, Oxford University Press. ISBN 0-19-853542-2.
• (DE) H. Weyl (1910), Über gewöhnliche Differentialgleichungen mit Singularitäten und die zugehörigen Entwicklungen willkürlicher Funktionen, Mathematische Annalen 68, 220–269.

Voci correlate

• Autovettore e autovalore
• Operatore autoaggiunto
• Operatore compatto
• Operatore di Fredholm
• Operatore limitato
• Operatore lineare continuo
• Shift unilaterale
• Spettro (matematica)
• Teorema spettrale
• Teoria spettrale