Teorema della bisettrice

Il teorema della bisettrice dell'angolo interno di un triangolo è un teorema della geometria elementare che è una particolare conseguenza del teorema di Talete.

Enunciato

In un triangolo due lati stanno fra loro come le parti in cui resta diviso il terzo lato dalla bisettrice dell'angolo interno ad esso opposto.

In altri termini: dato il triangolo ABC sia AL la bisettrice dell'angolo interno in A; sussiste allora la proporzione

$\scriptstyle BA:AC=BL:LC$

Dimostrazione

Si conduca dal vertice C la parallela alla retta AL fino a incontrare il prolungamento del lato BA dalla parte di A nel punto D. Il triangolo ACD è isoscele perché i suoi angoli in C e in D sono congruenti. Infatti:

$\scriptstyle A{\widehat {C}}D=C{\widehat {A}}L$ perché alterni interni rispetto alle rette parallele AL e DC tagliate dalla trasversale AC;

$\scriptstyle A{\widehat {D}}C=B{\widehat {A}}L$ perché corrispondenti rispetto alle rette parallele AL e DC tagliate dalla trasversale AD;

$\scriptstyle C{\widehat {A}}L=B{\widehat {A}}L$ perché parti uguali dello stesso angolo.

Per la proprietà transitiva dell'uguaglianza è allora

$\scriptstyle A{\widehat {D}}C=A{\widehat {C}}D$. Si ha pertanto che i segmenti AC e AD sono congruenti.

Per il teorema di Talete sussiste la proporzione

$\scriptstyle BA:AD=BL:LC$

e poiché AC e AD sono congruenti anche

$\scriptstyle BA:AC=BL:LC$

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Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Teorema della bisettrice, su MathWorld, Wolfram Research.